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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Bac S Métropole 2014

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

  1. Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.

    On note MM l'évènement «la personne choisie est malade» et TT l'évènement «le test est positif».

    1. Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.

    2. Démontrer que la probabilité p(T)p\left(T\right) de l'évènement TT est égale à 1,989×10−31,989\times 10^{ - 3}.

    3. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. Affirmation : «Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade»

  2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,950,95. On désigne par xx la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population.

    À partir de quelle valeur de xx le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé

d'un médicament.

  1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale N(μ,σ2)\mathscr N\left(\mu , \sigma ^{2}\right), de moyenne μ=900\mu =900 et d'écart-type σ=7\sigma =7.

    1. Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−210^{ - 2}.

    2. Déterminer l'entier positif hh tel que P(900−h⩽X⩽900+h)≈0,99P\left(900 - h\leqslant X\leqslant 900+h\right) \approx 0,99 à 10−310^{ - 3} près

  2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifs avec remise.

    Le contrôle effectué a permis de dénombrer 5353 comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé.

    Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

Corrigé

Partie A

    1. Arbre pondéré

    2. D'après la formule des probabilités totales :

      p(T)=p(M∩T)+p(M‾∩T)=0,001×0,99+0,999×0,001=1,989×10−3p\left(T\right)=p\left(M \cap T\right)+p\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,001\times 0,99+0,999\times 0,001=1,989\times 10^{ - 3}

    3. Il faut calculer pT(M)p_{T}\left(M\right) :

      pT(M)=p(T∩M)p(T)=0,99×0,0011,989×10−3≈0,497p_{T}\left(M\right)=\frac{p\left(T \cap M\right)}{p\left(T\right)}= \frac{0,99\times 0,001}{1,989\times 10^{ - 3}}\approx 0,497 (à 10−310^{ - 3} près).

      pT(M)<12p_{T}\left(M\right) < \frac{1}{2}. L'affirmation est donc exacte.

  2. Si la proportion de malades dans la population n'est plus 0,1% mais xx, l'arbre devient :

    Arbre pondéré

    On a alors :

    p(T)=p(M∩T)+p(M‾∩T)=x×0,99+(1−x)×0,001=0,001+0,989xp\left(T\right)=p\left(M \cap T\right)+p\left(\overline{M} \cap T\right) = x\times 0,99+\left(1 - x\right)\times 0,001=0,001+0,989x

    et la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est :

    pT(M)=p(T∩M)p(T)=0,99x0,001+0,989xp_{T}\left(M\right)=\frac{p\left(T \cap M\right)}{p\left(T\right)}=\frac{0,99x}{0,001+0,989x}

    On veut que cette probabilité soit supérieure à 0,95 :

    0,99x0,001+0,989x⩾0,95⇔0,99x⩾0,95×(0,001+0,989x)\frac{0,99x}{0,001+0,989x}\geqslant 0,95 \Leftrightarrow 0,99x\geqslant 0,95\times \left(0,001+0,989x\right)

    0,99x0,001+0,989x⩾0,95⇔0,99x−0,95×0,989x⩾0,95×10−3\frac{0,99x}{0,001+0,989x}\geqslant 0,95 \Leftrightarrow 0,99x - 0,95\times 0,989x\geqslant 0,95\times 10^{ - 3}

    0,99x0,001+0,989x⩾0,95⇔0,05045x⩾10−3\frac{0,99x}{0,001+0,989x}\geqslant 0,95 \Leftrightarrow 0,05045x\geqslant 10^{ - 3}

    0,99x0,001+0,989x⩾0,95⇔x⩾10−30,05045≈0,0198\frac{0,99x}{0,001+0,989x}\geqslant 0,95 \Leftrightarrow x\geqslant \frac{10^{ - 3}}{0,05045} \approx 0,0198

    Le laboratoire commercialisera le test lorsque plus de 1,98% de la population sera atteinte.

Partie B

    1. A la calculatrice :

      p(890⩽X⩽920)≈0,92p\left(890\leqslant X\leqslant 920\right)\approx 0,92 (à 10−210^{ - 2} près)

    2. p(μ−2,58σ<X<μ+2,58σ)=p(−2,58<X−μσ<2,58)≈0,99p\left(\mu - 2,58\sigma < X < \mu +2,58\sigma \right) = p\left( - 2,58 < \frac{X - \mu }{\sigma} < 2,58\right) \approx 0,99 (à 10−210^{ - 2} près) (voir cours)

      2,58σ≈182,58\sigma \approx 18

      donc h=18h=18

  2. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

    I=[p−1,96×p(1−p)n;p+1,96×p(1−p)n]I=\left[ p - 1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\times \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} \right]

    avec p=0,97p=0,97 et n=1000n=1000

    On vérifie aisément que n>30n > 30, np>5np > 5 et n(1−p)>5n\left(1 - p\right) > 5

    Ce qui donne ici I=[0,959;0,991]I=\left[0,959 ; 0,991\right]

    "53 comprimés non conformes" signifie 947 comprimés conformes soit une fréquence de f=0,947f=0,947

    Ce résultat n' appartient pas à l'intervalle de fluctuation donc remet en question les réglages faits par le laboratoire.

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