Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

• il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;

• la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.

Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$ poissons pour le bassin A et $100$ poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années.

En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0}=200$ et celui du bassin B est $b_{0}=100$.

1. Justifier que $a_{1}=400$ et $b_{1}=300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$.

2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 200 \\ 100 \end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \end{pmatrix}$.

   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=AX_{n}+B$.

   2. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}+B$.

   3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n}=\begin{pmatrix} a_{n}+400 \\ b_{n}+300 \end{pmatrix}$.

      Démontrer que pour tout entier naturel $n, Y_{n+1}=AY_{n}$

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n}=Y_{2n}$.

   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1}=A^{2} Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1}=2Z_{n}$.

   2. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$,

      $Y_{2n}=2Z_{n}.$

      En déduire que $Y_{2n+1}=2^{n}Y_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$,

      $a_{2n}= 600\times 2^{n} - 400 et a_{2n+1}= 800\times 2^{n} - 400.$

4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.

   1. On donne l'algorithme suivant.

      Variables :	$a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.
      Initialisation :	Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.
      Traitement :	Si $p$ est pair
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $n$ la valeur $\frac{p}{2}$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $a$ la valeur $600\times 2^{n} - 400$.
      	Sinon
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $n$ la valeur $\frac{p - 1}{2}$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $a$ la valeur $800\times 2^{n} - 400$.
      	Fin de Si.
      Sortie :	Afficher $a$.

      Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

   2. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A