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Terminale

moyenExercice corrigé

Calcul d'une intégrale avec exponentielle

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=xe^{-x}

  1. Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x} soit une primitive de f.
  2. En déduire la valeur de :

    I=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt

Corrigé

  1. F est une primitive de f si et seulement si F^{\prime}=f
    Si F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x} alors :
    F^{\prime}\left(x\right)=ae^{-x}+\left(ax+b\right)\times -e^{-x} (formule \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime})
    F^{\prime}\left(x\right)=\left(-ax+a-b\right) e^{-x}
    Par identification, F^{\prime}=f si et seulement si -a=1 et a-b=0; c'est à dire :

    a=-1 et b=-1

    On obtient alors :

    F\left(x\right)=\left(-x-1\right)e^{-x}

  2. I=F\left(1\right)-F\left(0\right)=-2e^{-1}+1e^{0}=1-\frac{2}{e}
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