Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=xe^{-x}
- Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x} soit une primitive de f.
- En déduire la valeur de :
I=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt
Corrigé
- F est une primitive de f si et seulement si F^{\prime}=f
Si F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x} alors :
F^{\prime}\left(x\right)=ae^{-x}+\left(ax+b\right)\times -e^{-x} (formule \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime})
F^{\prime}\left(x\right)=\left(-ax+a-b\right) e^{-x}
Par identification, F^{\prime}=f si et seulement si -a=1 et a-b=0; c'est à dire :a=-1 et b=-1
On obtient alors :
F\left(x\right)=\left(-x-1\right)e^{-x}
- I=F\left(1\right)-F\left(0\right)=-2e^{-1}+1e^{0}=1-\frac{2}{e}
