Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ (unité graphique : 2cm).

On considère les points A, B et C d' affixes respectives :

$z_{A}= - \frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $z_{B} =\overline{z_{A}}$ et $z_{C}= - 3$

Partie A

1. Écrire les nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ sous forme exponentielle.

2. Placer les points A, B et C.

3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit $f$ l'application qui, à tout point M du plan d'aflixe $z$, associe le point M' d'affixe $z^{\prime}=\frac{1}{3}iz^{2}$.

On note O', A', B' et C' les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.

1. 1. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A', B' et C'.

   2. Placer les points A', B' et C'.

   3. Démontrer l'alignement des points O, A et B' ainsi que celui des points O, B et A'.

   4. Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G' le point associé à G par $f$.

      Déterminer les affixes des points G et G'.

      Le point G' est-il l'isobarycentre des points O' A', B' et C' ?

2. Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M^{\prime}$ appartient à la parabole d'équation $y= - \frac{1}{3}x^{2}+\frac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole