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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Congruences - Bac S Liban 2009

Exercice 4

5 points-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel nn dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que n3≡2009 mod. 10000n^{3}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 10000.

Partie A

  1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 200922009^{2} par 1616.

  2. En déduire que 20098001≡2009 mod. 162009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 16.

Partie B

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie sur N\mathbb{N} par :

u0=20092−1u_{0}=2009^{2} - 1 et, pour tout entier naturel n,un+1=(un+1)5−1n, u_{n+1}=\left(u_{n}+1\right)^{5} - 1.

    1. Démontrer que u0u_{0} est divisible par 5.

    2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel nn

      un+1=un[un4+5(un3+2un2+2un+1)]u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2} +2u_{n}+1\right)\right]

    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, unu_{n} est divisible par 5n+15^{n+1}.

    1. Vérifier que u3=2009250−1u_{3}=2009^{250} - 1 puis en déduire que 2009250≡1 mod. 6252009^{250}\equiv 1 \ \text{}mod. \text{}\ 625.

    2. Démontrer alors que 20098001≡2009 mod. 6252009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 625.

Partie C

  1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001−20092009^{8001} - 2009 est divisible par 10 000.

  2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.

Corrigé

pdf Solution rédigée par Paki

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