Forme indéterminée avec racine carrée

Corrigé

On obtient une forme indéterminée du type «\frac{0}{0}»
Voici deux méthodes pour lever l'indétermination :

1ère méthode

On multiplie par l'expression conjuguée ( voir Méthode pour lever une forme indéterminée - Méthode 2 )
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}
Or pour x\geqslant 0, \sqrt{x}^{2}=x donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}

2ème méthode

On utilise le nombre dérivé ( voir Calcul de limites et nombre dérivé )
Posons f\left(x\right)=\sqrt{x} pour x\geqslant 0
Alors :
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=f^{\prime}\left(1\right)
Et pour x > 0, f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} donc f^{\prime}\left(1\right)=\frac{1}{2}
Finalement : \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}