Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale ES/L
  • Terminale S
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • TES/L
  • TS

Terminale S

difficulté moyenneExercice corrigé

Forme indéterminée avec racine carrée

Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}

Corrigé

On obtient une forme indéterminée du type «\frac{0}{0}»
Voici deux méthodes pour lever l'indétermination :

1ère méthode

On multiplie par l'expression conjuguée ( voir Méthode pour lever une forme indéterminée - Méthode 2 )
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}
Or pour x\geqslant 0, \sqrt{x}^{2}=x donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}

2ème méthode

On utilise le nombre dérivé ( voir Calcul de limites et nombre dérivé )
Posons f\left(x\right)=\sqrt{x} pour x\geqslant 0
Alors :
\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=f^{\prime}\left(1\right)
Et pour x > 0, f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} donc f^{\prime}\left(1\right)=\frac{1}{2}
Finalement : \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Limites d'une fonction

Exercices

  • difficulté moyenne Limites fonction rationnelle
  • difficulté moyenne Formes indéterminées : fonctions rationnelles
  • difficile Limites et racine carrée
  • difficulté moyenne Limites et encadrement
  • assez difficile Limite avec paramètre

Méthodes

  • Lever une forme indéterminée
  • Limites du type «k/0»
  • Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé

Vrai-Faux

  • difficulté moyenne Limites de fonctions (moyen)

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2019 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok