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Terminale

moyenExercice corrigé

Exponentielle et intégrale

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par

f(x) = \left(1-x^2\right) e^x.

On note \mathscr C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; \vec{i}, \vec{j}) d'unité 1 centimètre.

  1. Calculer les limites de f(x) lorsque x tend vers -\infty et lorsque x tend vers + \infty .
    1. Calculer la dérivée f^\prime de la fonction f.
    2. Étudier le signe de f^\prime(x).
    3. Construire le tableau de variations de f
  2. Déterminer les points d'intersections de la courbe \mathscr C et de l'axe des ordonnées.
  3. A l'aide des questions précédentes, tracer la courbe \mathscr C dans le repère orthonormal (O ; \vec{i}, \vec{j}) d'unité 1 centimètre.
  4. Soient a, b et c trois réels et F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x) =(ax^2+bx+c)e^x.
    1. Calculer F^\prime(x).
    2. Montrer qu'il existe des valeurs de a, b et c telles que F^\prime=f
  5. En déduire la valeur exacte de l'intégrale \mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x.
  6. Interpréter graphiquement l'intégrale \mathcal{A}.

Corrigé

Solution rédigée par Paki
exponentielle-et-integrale
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