Exponentielle et intégrale

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par

On note \mathscr C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; \vec{i}, \vec{j}) d’unité 1 centimètre.

1. Calculer les limites de f(x) lorsque x tend vers -\infty et lorsque x tend vers + \infty .
2. 1. Calculer la dérivée f^\prime de la fonction f.
   2. Étudier le signe de f^\prime(x).
   3. Construire le tableau de variations de f
3. Déterminer les points d’intersections de la courbe \mathscr C et de l’axe des ordonnées.
4. A l’aide des questions précédentes, tracer la courbe \mathscr C dans le repère orthonormal (O ; \vec{i}, \vec{j}) d’unité 1 centimètre.
5. Soient a, b et c trois réels et F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x) =(ax^2+bx+c)e^x.
   1. Calculer F^\prime(x).
   2. Montrer qu’il existe des valeurs de a, b et c telles que F^\prime=f
6. En déduire la valeur exacte de l’intégrale \mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x.
7. Interpréter graphiquement l’intégrale \mathcal{A}.