(D'après bac ES 2005)
Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left[0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=x-2+10e^{-0,5x}.
On note \left(C\right) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et \left(D\right) la droite d'équation y=x-2. La courbe \left(C\right) est partiellement représentée ci-dessous.
- Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
- On pose \alpha =2 \ln 5.
- Montrer que f\left(\alpha \right)=\alpha .
- Donner une valeur approchée à 10^{-1} près de \alpha .
- Calculer f^{\prime}\left(x\right), pour tout x élément de l'intervalle \left[0;+\infty \right[.
- Etudier le signe de f^{\prime}\left(x\right) sur l'intervalle \left[0;+\infty \right[, et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.
f\left(x\right)-\left(x-2\right) > 0.
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.
- Placer le point de la courbe \left(C\right) d'abscisse \alpha ;
- Tracer la tangente à la courbe \left(C\right) au point d'abscisse \alpha ;
- Tracer la droite \left(D\right).
- Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
- Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.
Corrigé


Attention : Comme l'a indiqué un internaute (merci à lui !), il y a une erreur dans le corrigé de la question 6 due à une mauvaise lecture de l'énoncé (l'aire hachurée et calculée n'est pas délimitée par la droite \left(D\right)).
Une solution correcte sera mise en ligne prochainement.