[Bac] Etude de fonction et calcul d’aire

(D’après bac ES 2005)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle \left[0;+\infty \right[ par :

f\left(x\right)=x-2+10e^{-0,5x}.

On note \left(C\right) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et \left(D\right) la droite d’équation y=x-2. La courbe \left(C\right) est partiellement représentée ci-dessous.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
2. On pose \alpha =2 \ln 5.
   1. Montrer que f\left(\alpha \right)=\alpha .
   2. Donner une valeur approchée à 10^{-1} près de \alpha .
3. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle \left[0;+\infty \right[ et on note f^{\prime} la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
   1. Calculer f^{\prime}\left(x\right), pour tout x élément de l’intervalle \left[0;+\infty \right[.
   2. Etudier le signe de f^{\prime}\left(x\right) sur l’intervalle \left[0;+\infty \right[, et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.
4. Justifier que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)-\left(x-2\right)=0 et que, pour tout x de l’intervalle \left[0;+\infty \right[:

   f\left(x\right)-\left(x-2\right) > 0.

   Donner l’interprétation graphique de ces résultats.

5. Sur le graphique donné ci-dessous :
   1. Placer le point de la courbe \left(C\right) d’abscisse \alpha ;
   2. Tracer la tangente à la courbe \left(C\right) au point d’abscisse \alpha ;
   3. Tracer la droite \left(D\right).
6. On note A l’aire (en unités d’aire) du domaine E délimité par la courbe \left(C\right), la droite \left(D\right) et les droites d’équations respectives x=2 et x=6.
   1. Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l’aire A à l’aide d’une expression faisant intervenir une intégrale.
   2. Déterminer la valeur exacte de l’aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.

Corrigé

Solution rédigée par Paki