Nombres complexes et géométrie - Bac S Métropole 2008
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗) (unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1+i, 3−i et 2.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M′ d'affixe z′ telle que z′=z2−4z. Le point M′ est appelé l'image de M.
Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.
Calculer les affixes des points A′ et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe −5.
Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z′+4=(z−2)2.
En déduire une relation entre ∣z′+4∣ et ∣z−2∣ et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg(z′+4) et arg(z−2).
Que peut-on dire du point M′ lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?
Soient E le point d'affixe 2+2ei3π, J le point d'affixe −4 et E′ l'image de E.
Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle (u⃗;IE).
Calculer la distance JE′ et une mesure en radians de l'angle (u⃗;JE′).
Construire à la règle et au compas le point E′ ; on laissera apparents les traits de construction.
(voir en fin de corrigé)
L'affixe de A′ est :
zA′=zA2−4zA=(1+i)2−4(1+i)=1+2i+i2−4−4i=−4−2i
L'affixe de B′ est :
zB′=zB2−4zB=(3−i)2−4(3−i)=9−6i+i2−12+4i=−4−2
Les points A′ et B′ ont sont confondus
M d'affixe z a pour image M′ d'affixe −5 si et seulement si :
z2−4z=−5 soit : z2−4z+5=0 (E1)
Le discriminant vaut
Δ=42−4×5×1=−4=(2i)2
L'équation (E1) a deux solutions complexes:
z1=24+2i=2+i
z2=24−2i=2−i
Le point d'affixe -5 a pour antécédents les points M1(2+i) et M2(2−i).
z′+4=z2−4z+4=(z−2)2
On en déduit :
∣z′+4∣=∣(z−2)2∣=∣z−2∣2
et
arg(z′+4)=arg((z−2)2)=2arg(z−2) (2π) pour z≠2
┐
Si M appartient au cercle (C), MJ=2 donc ∣z−2∣=2 et ∣z′+4∣=∣z−2∣2=4.
M′ appartient donc au cercle (C′) de centre J d'affixe −4 et de rayon 4.
Réciproquement si M′ appartient donc au cercle (C′) de centre J d'affixe −4 et de rayon 4 : ∣z−2∣2=∣z′+4∣=4 donc ∣z−2∣=2 et M appartient au cercle (C).
Donc, lorsque M décrit le cercle (C), M′ décrit le cercle (C′) de centre J d'affixe −4 et de rayon 4.
zIE=zE−zI=2ei32π
Donc :
IE=∣zIE∣=2
et
(u⃗;IE)=32π (2π)
∣zE′−zJ∣=∣zE′+4∣=∣zE−2∣2=4
(u⃗;JE′)=arg(zE′−zJ)=2arg(zE−2)=34π(2π)
┐
E′ est sur le cercle (C′) et (u⃗;JE′)=34π (2π) ce qui permet de construire le point E′ :
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