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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et suites - Bac S Métropole 2008

Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗)\left(O ; \vec{u} , \vec{v} \right).

Soient A et B les points d'affixes respectives zA=1−iz_{A}=1 - \text{i} et zB=7+72iz_{B}=7+\frac{7}{2}\text{i}.

  1. On considère la droite (d)\left(d\right) d'équation 4x+3y=14x+3y=1.

    Démontrer que l'ensemble des points de (d)\left(d\right) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points Mk(3k+1,−4k−1)M_{k}\left(3k+1 , - 4k - 1\right) lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.

  2. Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M−1M_{ - 1}(-2 , 3).

  3. Soit ss la transformation du plan qui à tout point M d'affixe zz associe le point M' d'affixe z′=23iz+13−53i z^{\prime}=\frac{2}{3}\text{i}z+\frac{1}{3} - \frac{5}{3}\text{i}.

    Déterminer l'image de A par ss, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de ss.

  4. On note B1B_{1} l'image de B par ss et pour tout entier naturel nn non nul, Bn+1B_{n+1} l'image de BnB_{n} par ss.

    1. Déterminer la longueur ABn+1AB_{n+1} en fontion de ABnAB_{n}.

    2. A partir de quel entier nn le point BnB_{n} appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10−210^{ - 2} ?

    3. Déterminer l'ensemble des entiers nn pour lesquels A, B1B_{1}, BnB_{n} sont alignés.

Corrigé

  1. 4×1+3×(−1)=14 \times 1+3 \times \left( - 1\right)=1, donc le point de coordonnées (1 ; -1) appartient à la droite (d)\left(d\right)

    Soit M(x,y) un point de (d)\left(d\right) à coordonnées entières.

    4x+3y=1⇔4x+3y=4×1+3×(−1)⇔4(x−1)=−3(y+1)=04x+3y=1 \Leftrightarrow 4x+3y=4\times 1+3\times \left( - 1\right) \Leftrightarrow 4\left(x - 1\right)= - 3\left(y+1\right)=0

    4 et 3 étant premiers entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que x-1 est un multiple de 3, c'est à dire qu'il existe k∈Zk \in \mathbb{Z} tel que x−1=3kx - 1=3k c'est à dire x=3k+1x=3k+1.

    On a alors 3y=1−4x=−12k−33y=1 - 4x= - 12k - 3 soit y=−4k−1y= - 4k - 1

    Réciproquement comme :

    4(3k+1)+3(−4k−1)=14\left(3k+1\right)+3\left( - 4k - 1\right)=1

    tout point de coordonnées (3k+1;−4k−1)\left(3k+1; - 4k - 1\right) avec k∈Zk \in \mathbb{Z} est un point de (d)\left(d\right) à coordonnées entières.

  2. Le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M−1M_{ - 1} est :

    k=AM−1AB=∣zAM→−1zAB→∣k=\frac{AM_{ - 1}}{AB}=|\frac{z_{\overrightarrow{AM}_{ - 1}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}|

    or

    zAM→−1zAB→=−3+4i6+92i=−6+8i12+9i=(−6+8i)(12−9i)(12+9i)(12−9i)=150i225=23i\frac{z_{\overrightarrow{AM}_{ - 1}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}=\frac{ - 3+4i}{6+\frac{9}{2}i}=\frac{ - 6+8i}{12+9i}=\frac{\left( - 6+8i\right)\left(12 - 9i\right)}{\left(12+9i\right)\left(12 - 9i\right)}=\frac{150i}{225}=\frac{2}{3}i

    donc

    k=∣23i∣=23k=|\frac{2}{3}i|=\frac{2}{3}

    L'angle de cette similitude est :

    θ=arg(zAM→−1zAB→)=arg(23i)=π2 (2π)\theta =\text{arg}\left(\frac{z_{\overrightarrow{AM}_{ - 1}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}\right)=\text{arg}\left(\frac{2}{3}i\right)=\frac{\pi }{2}\ \left(2\pi \right)

  3. L'image de A par ss est le point A' d'affixe

    zA′=23i(1−i)+13−53i=1−i=zAz_{A^{\prime}}=\frac{2}{3}i\left(1 - i\right)+\frac{1}{3} - \frac{5}{3}i=1 - i=z_{A}

    Donc A est le centre de la similitude directe ss.

    Le rapport de ss est k=∣23i∣=23k=|\frac{2}{3}i|=\frac{2}{3}

    L'angle de ss est θ=arg(23i)=π2 (2π)\theta =\text{arg}\left(\frac{2}{3}i\right)=\frac{\pi }{2}\ \left(2\pi \right)

    1. La similitude s transforme BnB_{n} en Bn+1B_{n+1}. Son centre est A et son rapport 23\frac{2}{3} donc :

      ABn+1ABn=23\frac{AB_{n+1}}{AB_{n}}=\frac{2}{3}

      c'est à dire:

      ABn+1=23ABnAB_{n+1}=\frac{2}{3}AB_{n}

    2. La suite (ABn)\left(AB_{n}\right) est une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme

      AB=62+(92)2=152AB=\sqrt{6^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}=\frac{15}{2}

      donc:

      ABn=152×(23)nAB_{n}=\frac{15}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n}

      ABnAB_{n} est donc inférieur à 10−210^{ - 2} si et seulement si :

      152×(23)n<1100\frac{15}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{n} < \frac{1}{100}

      c'est à dire :

      (23)n<1750\left(\frac{2}{3}\right)^{n} < \frac{1}{750}

      La fonction ln étant croissante cette inégalité équivaut à :

      ln(23)n<ln(1750)\ln\left(\frac{2}{3}\right)^{n} < \ln\left(\frac{1}{750}\right)

      n(ln2−ln3)<−ln750n\left(\ln2 - \ln3\right) < - \ln750

      soit comme ln2−ln3\ln2 - \ln3 est négatif :

      n>−ln750ln2−ln3≈16,3n > \frac{ - \ln750}{\ln2 - \ln3}\approx 16,3

      Le point BnB_n appartient au disque de centre AA et de rayon 10−210^{ - 2} à partir de n=17n=17.

    3. Pour tout entier n>0n > 0 , Bn+1B_{n+1} est l'image de BnB_n par la similitude ss de centre AA et d'angle π2\frac{\pi }{2} donc :

      (AB→n;AB→n+1)=π2 (2π)\left(\overrightarrow{AB}_{n};\overrightarrow{AB}_{n+1}\right)=\frac{\pi }{2} \ \left(2\pi \right)

      Donc :

      (AB→1;AB→n)=(AB→1;AB→2)+(AB→2;AB→3)+...+(AB→n−1;AB→n) (2π)\left(\overrightarrow{AB}_{1};\overrightarrow{AB}_{n}\right)=\left(\overrightarrow{AB}_{1};\overrightarrow{AB}_{2}\right)+\left(\overrightarrow{AB}_{2};\overrightarrow{AB}_{3}\right)+. . .+\left(\overrightarrow{AB}_{n - 1};\overrightarrow{AB}_{n}\right)\ \left(2\pi \right)

      (AB→1;AB→n)=π2+π2+...+π2=(n−1)π2 (2π)\left(\overrightarrow{AB}_{1};\overrightarrow{AB}_{n}\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2} +. . .+\frac{\pi }{2}=\left(n - 1\right)\frac{\pi }{2}\ \left(2\pi \right)

      Les points A,B1A, B_1 et BnB_n sont alignés si et seulement si cet angle est un multiple de π\pi c'est à dire si et seulement si n−1n - 1 est pair donc si et seulement si nn est impair.

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