Loi exponentielle - Bac S Métropole 2008
Exercice 3 (5 points)
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout t⩾0 : P(X⩽t)=∫0tλe−λxdx.
La fonction R définie sur l'intervalle [0;+∞[ par R(t)=P(X>t) est appelée fonction de fiabilité.
Restitution organisée de connaissances
Démontrer que pour tout t⩾0, on a R(t)=e−λt.
Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel s⩾0, la probabilité conditionnelle PX>t(X>t+s) ne dépend pas du nombre t⩾0.
Dans cette question, on prendra λ=0,00026.
Calculer P(X⩽1 000) et P(X>1 000).
Sachant que l'événement (X>1 000) est réalisé, calculer la probabilité de l'événement (X>2 000).
Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2 000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3 000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Pour tout t⩾0, les événements (X⩽t) et (X>t) sont complémentaires donc :
R(t)=1−P(X⩽t)=1−∫0tλe−λxdx
Une primitive de la fonction x↦λe−λx est la fonction x↦−e−λx donc :
R(t)=1−[−e−λx]0t=1+(e−λt−1)=e−λt
PX>t(X>t+s)=P(X>t)P((X>t)∩(X>t+s))
Or (X>t)∩(X>t+s)=(X>t+s)
donc :
PX>t(X>t+s)=P(X>t)P(X>t+s)=R(t)R(t+s)
et d'après le a. :
PX>t(X>t+s)=e−λte−λ(t+s)=e−λs
ce qui est indépendant de t.
P(X>1 000)=R(1 000)=e−1 000λ=e−0,26
P(X⩽1 000)=1−R(1 000)=1−e−0,26
D'après la question 1.b. :
PX>1 000(X>2 000)=P(X>1 000)=e−0,26
PX>2 000(X⩽3 000)=1−PX>2 000(X>3 000)
Donc d'après la question 1.b. :
PX>2 000(X⩽3 000)=1−P(X>1 )=1−e−0,26
Ce résultat était prévisible, la loi de durée de vie étant sans vieillissement.
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