Calcul de primitives

Déterminer la primitive de la fonction $x\mapsto 3x^{2}+4x+1$ qui s'annule pour $x=1$

Corrigé

On sait qu'une primitive de la fonction $x\mapsto x^{n}$ est $x\mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Les primitives de la fonction $x\mapsto 3x^{2}+4x+1$ sont donc les fonctions $F$ de la forme :

$F\left(x\right)=3\times \frac{x^{3}}{3}+4\times \frac{x^{2}}{2}+x+k=x^{3}+2x^{2}+x+k$

où $k$ est une constante réelle.

On veut que $f$ s'annule pour $x=1$ c'est à dire :

$F\left(1\right)=0$

$1^{3}+2\times 1^{2}+1+k=0$

$k= - 4$

La primitive cherchée est donc la fonction $F$ définie par :

$F\left(x\right)=x^{3}+2x^{2}+x - 4$