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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Primitives, intégrales, équations différentielles

1. Primitives d'une fonction

Définition

Soit ff une fonction définie sur II.

On dit que FF est une primitive de ff sur l'intervalle II, si et seulement si FF est dérivable sur II et pour tout xx de II, F(x)=f(x)F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).

Exemple

La fonction F: xx2F: ~x\mapsto x^{2} est une primitive de la fonction f: x2xf:~x\mapsto 2x sur R\mathbb{R}.

La fonction G: xx2+1G: ~x\mapsto x^{2}+1 est aussi une primitive de cette même fonction ff.

Propriété

Si FF est une primitive de ff sur II, alors les autres primitives de ff sur II sont les fonctions de la forme F+kF+kkR.k\in \mathbb{R}.

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de ff mais une primitive de ff.

Exemple

Les primitives de la fonction f: x2xf:~x\mapsto 2x sont les fonctions F: xx2+kF:~ x\mapsto x^{2}+kkR.k\in \mathbb{R}.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction ff Primitives FF Ensemble de validité
00 kk R\mathbb{R}
aa ax+kax+k R\mathbb{R}
xn (nN)x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) xn+1n+1+k\frac{x^{n+1}}{n+1}+k R\mathbb{R}
1xn (nN; n>1)\frac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) 1(n1)xn1+k - \frac{1}{\left(n - 1\right)x^{n - 1}}+k R{0}\mathbb{R} - \left\{0\right\}
1x\frac{1}{x} lnx+k\ln x+k ]0;+[\left]0;+\infty \right[
exe^{x} ex+ke^{x}+k R\mathbb{R}

Propriétés

Si ff et gg sont deux fonctions définies sur II et admettant respectivement FF et GG comme primitives sur II et kk un réel quelconque.

  • F+GF+G est une primitive de la fonction f+gf+g sur II.

  • kFkF est une primitive de la fonction kfkf sur II.

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle II.

Fonction ff Primitives FF Condition
uun (nN)u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) un+1n+1+k\frac{u^{n+1}}{n+1}+k
uu\frac{u^{\prime}}{u} lnu+k\ln u+k si u(x)>0u\left(x\right)>0
uun (nN; n>1)\frac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) 1(n1)un1+k - \frac{1}{\left(n - 1\right)u^{n - 1}}+k si u(x)0u\left(x\right)\neq 0
uu\frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}} 2u+k2\sqrt{u}+k si u(x)>0u\left(x\right)>0
ueuu^{\prime}e^{u} eu+ke^{u}+k

Exemple

La fonction x2xx2+1x\mapsto \frac{2x}{x^{2}+1} admet comme primitives les fonctions de la forme xln(x2+1)+kx\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k sur tout intervalle de R\mathbb{R} (forme uu\frac{u^{\prime}}{u}).

2. Intégrales

Définition

Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] et FF une primitive de ff sur [a;b]\left[a;b\right]. L'intégrale de aa à bb de ff est le nombre réel noté abf(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x défini par:

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right) - F\left(a\right).

Remarques

  • L'intégrale ne dépend pas de la primitive de ff choisie.

    En effet si GG est une autre primitive de ff, on a G=F+kG=F+k donc :

    G(b)G(a)=F(b)+k(F(a)+k)=F(b)F(a)G\left(b\right) - G\left(a\right)=F\left(b\right)+k - \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) - F\left(a\right)

  • Dans l'expression abf(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x, xx est une variable «  muette  ». C'est à dire que l'on ne change pas l'expression si on remplace xx par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre tt notamment lorsque la lettre xx est employée par ailleurs.

Notations

On note souvent : F(b)F(a)=[F(x)]abF\left(b\right) - F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.

On a avec cette notation :

abf(x)dx=[F(x)]ab\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.

Exemple

La fonction FF définie par F(x)=x33F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{3} est une primitive de la fonction carré.

On a donc :

01x2dx=[x33]01=1303=13\int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3} - \frac{0}{3}=\frac{1}{3}.

Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aIa \in I; la fonction définie sur II par :

xaxf(t)dtx\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t

est la primitive de ff qui s'annule pour x=ax=a.

Démonstration

Soit FF une primitive (quelconque) de ff. Posons Φ(x)=axf(t)dt\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t

Φ(x)=axf(t)dt=F(x)F(a)\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right) - F\left(a\right)

donc:

Φ(x)=F(x)=f(x)\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).

Ce qui prouve que Φ\Phi est aussi une primitive de ff.

De plus Φ(a)=F(a)F(a)=0\Phi \left(a\right)=F\left(a\right) - F\left(a\right)=0.

Remarque

Notez bien la position du xx en borne supérieure de l'intégrale.

Exemple

La fonction définie sur [0;+[\left[0 ; +\infty \right[ x1x1tdtx\mapsto \int_{1}^{ x}\frac{1}{t}\text{d}t (on peut aussi écrire 1xdtt\int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}) est la primitive de la fonction inverse qui s'annule pour x=1x=1. C'est donc la fonction logarithme népérien:

ln(x)=1xdtt.\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}.

Propriété

Relation de Chasles

Soit ff une fonction continue sur [a;b]\left[a;b\right] et c[a;b]c\in \left[a;b\right].

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x.

Propriété

Linéarité de l'intégrale

Soit ff et gg deux fonctions continues sur [a;b]\left[a;b\right] et λR\lambda \in \mathbb{R}.

  • abf(x)+g(x)dx=abf(x)dx+abg(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x

  • abλf(x)dx=λabf(x)dx\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x.

Propriété

Comparaison d'intégrales

Soit ff et gg deux fonctions continues sur [a;b]\left[a;b\right] telles que fgf\geqslant g sur [a;b]\left[a;b\right].

abf(x)dxabg(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x.

Remarque

En particulier, en prenant pour gg la fonction nulle on obtient si f(x)0f\left(x\right)\geqslant 0 sur [a;b]\left[a;b\right]:

abf(x)dx0\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant 0.

3. Interprétation graphique

Définition

Le plan PP est rapporté à un repère orthogonal (O,i,j)\left(O,\vec{i},\vec{j}\right).

On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent i||\vec{i}|| et j||\vec{j}||.

unité d'aire

Unité d'aire dans le cas d'un repère orthonormé

Propriété

Si ff est une fonction continue et positive sur [a;b]\left[a;b\right], alors l'intégrale abf(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :

  • la courbe CfC_{f},

  • l'axe des abscisses,

  • les droites (verticales) d'équations x=ax=a et x=bx=b.

Exemple

aire et intégrale

L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à 13f(x)dx\int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x.

Remarques

  • Si ff est négative sur [a;b]\left[a;b\right], la propriété précédente appliquée à la fonction f - f montre que abf(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe CfC_{f}, l'axe des abscisses, les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b.

  • Si le signe de ff varie sur [a;b]\left[a;b\right], on découpe [a;b]\left[a;b\right] en sous-intervalles sur lesquels ff garde un signe constant.

Propriété

Si ff et gg sont des fonctions continues et telles que fgf\leqslant g sur [a;b]\left[a;b\right], alors l'aire de la surface délimitée par :

  • la courbe CfC_{f},

  • la courbe CgC_{g},

  • les droites (verticales) d'équations x=ax=a et x=bx=b.

est égale (en unités d'aire) à :

A=ab(g(x)f(x))dxA=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x.

Exemple

ff et gg définies par f(x)=x2xf\left(x\right)=x^{2} - x et g(x)=3xx2g\left(x\right)=3x - x^{2} sont représentées par les paraboles ci-dessous :

aire entre deux courbes

L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :

A=02(g(x)f(x))dx=02(4x2x2)dx=[2x223x3]02=83u.a.A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x - 2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2} - \frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3} \text{u.a.}