Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Suites - Contrôle continu 1ère - 2020 - Sujet zéro

Exercice 4 (5 points)

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L'intensité lumineuse est exprimée en candela ( cd ).

On utilise une lampe torche qui émet un rayon d'intensité lumineuse réglée à 400 cd.

On superpose nn plaques de verre identiques ( nn étant un entier naturel ) et on désire mesurer l'intensité lumineuse InI_{ n } du rayon à la sortie de la nn-ième plaque.

On note I0=400I_{ 0 }=400 l'intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques ( intensité lumineuse initiale ). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite (In).( I_{ n } ).

  1. Montrer par un calcul que I1=320.I_{ 1 }=320.

    1. Pour tout entier naturel nn , exprimer In+1I_{ n+1 } en fonction de In.I_{ n }.

    2. En déduire la nature de la suite (In).( I_{ n } ). Préciser sa raison et son premier terme.

    3. Pour tout entier naturel nn , exprimer InI_{ n } en fonction de n.n.

  3. On souhaite déterminer le nombre minimal nn de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

    Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante : 

    def nombrePlaques(J):
	I=400
	n=0
	while I > J:
		I = 0.8*I
		n = n+1
	return n

    1. Préciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l'appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.

    2. Le tableau suivant donne des valeurs de In.I_{ n }. Combien de plaques doit-on superposer ?

      nn 0 1 2 3 4 5 6 7
      InI_{ n } 400 320 256 204,8 163,84 131,07 104,85 83,886

Corrigé

  1. Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 20 % est :

    CM=1−20100=0,8CM=1 - \frac{ 20 }{ 100 }=0,8

    L'intensité lumineuse I1I_{ 1 } à la sortie de la première plaque est donc :

    I1=0,8×I0=0,8×400=320I_{ 1 }=0,8 \times I_{ 0 }=0,8 \times 400=320

    Remarque : On aurait également pu calculer la diminution de l'intensité lumineuse qui est égale à 20100×400=80\frac{ 20 }{ 100 } \times 400=80, puis la nouvelle intensité I1=400−80=320I_{ 1 }=400 - 80=320 . Mais il est préférable de s'habituer à utiliser le coefficient multiplicateur qui facilite les calculs lors d'augmentation ou de diminution en pourcentage.

    1. De même, le raisonnement précédent indique que, pour tout entier naturel nn  :
      In+1=0,8×In.I_{ n+1 }=0,8 \times I_{ n }.

    2. La formule précédente prouve que la suite (In)( I_{ n } ) est une suite géométrique de raison q=0,8q=0,8 ; son premier terme est I0=400.I_{ 0 }=400.

    3. D'après le cours, le n-ième terme d'une suite géométrique de premier terme u0u_{ 0 } et de raison qq est donné par la formule :

      un=u0×qn u_{ n }=u_{ 0 } \times q{}^{ n }

      On obtient ici :

      In=I0×qn=400×0,8nI_{ n }=I_{ 0 } \times q{}^{ n }=400 \times 0,8{}^{ n }

    1. L'appel à la fonction Python nombrePlaques( ) avec l'argument J renvoie le nombre minimal de plaques à superposer afin que l'intensité lumineuse du rayon à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure ou égale à J.

      Puisque l'on veut que le rayon initial perde au moins 70 % de son intensité lumineuse, il faut que l'intensité lumineuse à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure à 30 % de I0I_{ 0 } c'est-à-dire inférieure à 30100×400=120.\frac{ 30 }{ 100 } \times 400=120.

      Il faut donc choisir le nombre J = 120, pour obtenir, en sortie de la fonction nombrePlaques( ), le nombre de plaques à superposer.

    2. Le tableau montre qu'il faut choisir 6 plaques pour obtenir une intensité lumineuse inférieure ou égale à 120 cd.

Autres exercices de ce sujet :

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

QCM

Quiz