En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :

$b_0=12 \times 450=5400$

De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :

$c_0=12 \times 60=720$

Le total des loyers nets s'obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :

$l_0=b_0+c_0=5400+720=6120$

Augmenter un montant de $1,5$% revient à multiplier ce montant par $1,015$.

Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de $450 \times 1,015 = 456,75$ euros et le total annuel des loyers bruts :

$b_1=450 \times 1,015 \times 12 = 5481$

On remarque que pour obtenir $b_1$ il suffit de multiplier $b_0$ par $1,015$.

En 2017, Alexandre paiera $1$ euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l'année, il paiera donc $12$ euros de charges de plus qu'en 2016.

Le total des charges locatives en euros pour l'année 2017 sera donc :

$c_1=c_0+12=720+12=732$

Le total des loyers nets pour 2012 sera :

$l_1=b_1+c_1=5481+732=6213$

Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :

$b_2=b_1 \times 1,015=5563,215$ (ou $5563,22$ arrondi au centime)

$c_2=c_1+12=732+12=744$

$l_2=b_2+c_2=6307,215$ (ou $6307,22$ arrondi au centime)

Les loyers bruts de l'année de rang $n+1$ s'obtiennent en multipliant les loyers bruts de l'année de rang $n$ par $1,015$. On a donc :

$b_{n+1}=1,015 \times b_n$

Les charges de l'année de rang $n+1$ s'obtiennent en ajoutant $12$ aux charges de l'année de rang $n$. Par conséquent :

$c_{n+1}=c_n+12$

D'après les questions précédentes:

$(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0=5400$ et de raison $1,015$.

$(c_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $c_0=720$ et de raison $12$.

Montrons que la suite $(l_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique :

$l_1 - l_0=6213 - 6120=93$

$l_2 - l_1=6307,215 - 6213=94,215$

La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite $(l_n)$ n'est pas arithmétique.

$\frac{l_1}{l_0} = \frac{6213}{6120} \approx 1,01520$ (à $10^{^ - 5}$ près)

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{6307,215}{6213} \approx 1,01516$ (à $10^{^ - 5}$ près)

Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite $(l_n)$ n'est pas géométrique.

La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0=5400$ et de raison $q=1,015$, par conséquent :

$b_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1,015^n$

La suite $(c_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $c_0=720$ et de raison $r=12$, donc :

$c_n=c_0 + n r=720 + 12n$

$l_n$ est la somme de $b_n$ et $c_n$ :

$l_n=5400 \times 1,015^n+720+12n$

Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :

$B=b_0+b_1+ \cdots +b_9$

$\phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9$

$\phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9)$

donc d'après la formule $1+q+q^2+\cdots+q^n= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ :

$B=5400 \times \frac{1 - 1.015^{10}}{1 - 1.015}$

$\phantom{B} \approx 57794,70$ (au centime près)

Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :

$C=c_0+c_1+ \cdots +c_9$

$C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 +$$\cdots +720+12 \times 9$

On regroupe les termes égaux à $720$; il y en a 10, donc :

$C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9$

$\phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9)$

On applique la formule $1+2+\cdots +n= \frac{n(n+1)}{2}$ :

$C=7200+12\times \frac{9\times 10}{2} = 7740$

Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :

$L=B+C=57794,70+7740=65534,70$ euros