Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Utilisation d'une suite annexe

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par :

u0=1u_{0}=1 et pour tout entier nn , un+1=12un1u_{n+1}= \frac{1}{2} u_{n} - 1.

  1. Calculer u1u_{1} et u2u_{2}. La suite (un)\left(u_{n}\right) est-elle arithmétique? géométrique ?

  2. On pose vn=un+2v_{n}=u_{n}+2.

    1. Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n}. Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right) ?

    2. Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

    3. En déduire unu_{n} en fonction de nn.

Corrigé

  1. u1=12u01=12u_{1}=\frac{1}{2}u_{0} - 1= - \frac{1}{2}

    u2=12u11=54u_{2}=\frac{1}{2}u_{1} - 1= - \frac{5}{4}

    La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

    1. vn+1=un+1+2v_{n+1}=u_{n+1}+2 (définition de la suite vnv_{n})

      vn+1=12un1+2=12un+1v_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n} - 1+2=\frac{1}{2}u_{n}+1 (car un+1=12un1u_{n+1}= \frac{1}{2} u_{n} - 1)

      vn+1=12(un+2)=12vnv_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+2\right)=\frac{1}{2}v_{n}

      (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 12\frac{1}{2}.

      Son premier terme est v0=u0+2=3v_{0}=u_{0}+2=3.

    2. vn=v0×(12)n=3×(12)nv_{n}=v_{0}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}=3\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}

    3. un=vn2=3×(12)n2u_{n}=v_{n} - 2=3\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} - 2