Utilisation d'une suite annexe
On considère la suite (un) définie par :
u0=1 et pour tout entier n , un+1=21un−1.
Calculer u1 et u2. La suite (un) est-elle arithmétique? géométrique ?
On pose vn=un+2.
Exprimer vn+1 en fonction de vn. Quelle est la nature de la suite (vn) ?
Exprimer vn en fonction de n.
En déduire un en fonction de n.
u1=21u0−1=−21
u2=21u1−1=−45
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
vn+1=un+1+2 (définition de la suite vn)
vn+1=21un−1+2=21un+1 (car un+1=21un−1)
vn+1=21(un+2)=21vn
(vn) est une suite géométrique de raison 21.
Son premier terme est v0=u0+2=3.
vn=v0×(21)n=3×(21)n
un=vn−2=3×(21)n−2