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Fonction exponentielle - Contrôle continu 1ère - 2020 - Sujet zéro

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe Cf \mathscr{C}_{ f } représentatif de la fonction ff définie sur l'intervalle [−1 ; 2][ - 1~;~2 ] par :

f(x)=(−x+2)ex. f( x )=( - x+2 )\text{e}^{ x }.

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe Cf \mathscr{C}_{ f }. On nomme LL la longueur de la plaque rectangulaire et l \mathscr{l} sa largeur.

  1. On note f′f^{\prime} la fonction dérivée de ff.

    1. Montrer que pour tout réel xx de l'intervalle [−1 ; 2][ - 1~;~2 ] , f′(x)=(−x+1)ex.f^{\prime} ( x )=( - x+1 )\text{e}^{ x }.

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur [−1 ; 2].[ - 1~;~2 ].

  2. La longueur LL de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur l \mathscr{l} exacte en centimètres.

Corrigé

    1. Pour calculer la dérivée f′f^{\prime} de la fonction ff on utilise la formule :

      (uv)′=u′v+uv′ ( uv )^{\prime} =u^{\prime} v+uv^{\prime}

      où uu et vv sont les fonctions définies par :

      • u(x)=−x+2u( x )= - x+2

      • v(x)=exv( x )=\text{e}^{ x }

      On a alors :

      • u′(x)=−1u^{\prime} ( x )= - 1

      • v′(x)=exv^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x }

      Par conséquent, pour tout réel xx de l'intervalle [−1 ; 2]\left[ - 1~;~2\right] :

      f′(x)=−ex+(−x+2)exf^{\prime} ( x )= - \text{e}^{ x }+( - x+2 )\text{e}^{ x }
      f′(x)=ex(−1−x+2)\phantom{f^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( - 1 - x+2 \right)
      f′(x)=(−x+1)ex.\phantom{f^{\prime} ( x )}=\left( - x+1 \right)\text{e}^{ x }.

    2. Pour tout réel xx, ex\text{e}^{ x } est strictement positif ; donc f′f^{\prime} est du signe de −x+1 - x+1 c'est-à-dire :

      • f′f^{\prime} s'annule pour x=1x=1

      • f′f^{\prime} est strictement positive pour x<1x < 1

      • f′f^{\prime} est strictement négative pour x>1.x > 1.

      On a par ailleurs :

      • f(−1)=(1+2)e−1=3e−1=3ef( - 1 )=( 1+2 )\text{e}^{ - 1 }=3\text{e}^{ - 1 }=\frac{ 3 }{ \text{e} }

      • f(1)=(−1+2)e1=ef( 1 )=( - 1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e}

      • f(2)=(−2+2)e2=0f( 2)=( - 2 +2)\text{e}^{ 2 }=0

      On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :

      Tableau de variation Contrôle continu

  2. Le maximum de la fonction ff est f(1)=ef( 1 )=\text{e} ; son minimum est f(2)=0f( 2 )=0. La largeur de la plaque est donc e\text{e} unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc l=30el=30\text{e} centimètres (soit environ 81,5 cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).

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