Probabilités - Suites - Bac S Pondichéry 2013
Exercice 4 (6 points)
Commun à tous les candidats
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
Un salarié malade est absent
La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
Si la semaine le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine avec une probabilité égale à .
Si la semaine le salarié est malade, il reste malade la semaine avec une probabilité égale à .
On désigne, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, par l'évènement "le salarié est absent pour cause de maladie la -ième semaine". On note la probabilité de l'évènement .
On a ainsi : et, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 : .
Déterminer la valeur de à l'aide d'un arbre de probabilité.
Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
.
Montrer que la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison .
En déduire l'expression de puis de en fonction de et .
En déduire la limite de la suite .
On admet dans cette question que la suite est croissante. On considère l'algorithme suivant :
A quoi correspond l'affichage final J ?Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel Initialisation P prend la valeur J prend la valeur Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P prend la valeur J prend la valeur J + 1 Fin tant que Sortie Afficher J Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à .
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire .
On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres et .
On note une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement pour quelques valeurs du nombre réel .
-1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à près de la probabilité de l'évènement : "le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15".0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939
Corrigé
On recherche
D'après la formule des probabilités totales :
Donc la suite est une suite géométrique de raison . Son premier terme est .
On a donc :
et :
Comme , et donc
Le nombre affiché est le rang à partir duquel .
L'algorithme se termine toujours car la suite est croissante et , donc, quelque soit on trouvera toujours un rang tel que
Pour un salarié donné, l'évènement : "Le salarié est malade" correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité
Si l'on s'intéresse à l'état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
La variable aléatoire suit donc une loi binomiale de paramètres et .
L'espérance mathématique de est :
Son écart-type est :
à près
La probabilité cherchée est . Or :
à près.