Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Probabilités - Suites - Bac S Pondichéry 2013

Exercice 4   (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

On désigne, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1, par EnE_{n} l'évènement "le salarié est absent pour cause de maladie la nn-ième semaine". On note pnp_{n} la probabilité de l'évènement EnE_{n}.

On a ainsi : p1=0p_{1}=0 et, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1 : 0pn<10\leqslant p_{n} < 1.

    1. Déterminer la valeur de p3p_{3} à l'aide d'un arbre de probabilité.

    2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

    1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous

      Arbre pondéré

    2. Montrer que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1,

      pn+1=0,2pn+0,04p_{n+1}=0,2p_{n}+0,04.

    3. Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1 par un=pn0,05u_{n}=p_{n} - 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison rr.

      En déduire l'expression de unu_{n} puis de pnp_{n} en fonction de nn et rr.

    4. En déduire la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right).

    5. On admet dans cette question que la suite (pn)\left(p_{n}\right) est croissante. On considère l'algorithme suivant :

      Variables K et J sont des entiers naturels,
      P est un nombre réel
      Initialisation P prend la valeur 00
      J prend la valeur 11
      Entrée Saisir la valeur de K
      Traitement Tant que P<0,0510KP < 0,05 - 10^{ - K}
      \quad \quad P prend la valeur 0,2×P+0,040,2\times P+0,04
      \quad \quad J prend la valeur J + 1
      Fin tant que
      Sortie Afficher J
      A quoi correspond l'affichage final J ?

      Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?

  1. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05p=0,05.

    On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.

    On désigne par XX la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

    1. Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

      Calculer l'espérance mathématique μ\mu et l'écart type σ\sigma de la variable aléatoire XX.

    2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire Xμσ\frac{X - \mu }{\sigma } par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 00 et 11.

      On note ZZ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

      Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z<xZ < x pour quelques valeurs du nombre réel xx.

      xx -1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31
      P(Z<x)P\left(Z < x\right) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379
      xx 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55
      P(Z<x)P\left(Z < x\right) 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939
      Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10210^{ - 2} près de la probabilité de l'évènement : "le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15".

Corrigé

    1. Arbre pondéré

      p3=p(E3)=0,04×0,24+0,96×0,04=0,048p_{3}=p\left(E_{3}\right)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=0,048

    2. On recherche pE3(E2)p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)

      pE3(E2)=p(E2E3)p(E3)=0,04×0,240,048=0,2p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)=\frac{p\left(E_{2} \cap E_{3}\right)}{p\left(E_{3}\right)}=\frac{0,04\times 0,24}{0,048}=0,2

    1. Arbre pondéré

    2. D'après la formule des probabilités totales :

      pn+1=p(En+1)=0,24pn+0,04(1pn)=0,2pn+0,04p_{n+1}=p\left(E_{n+1}\right)=0,24p_{n}+0,04\left(1 - p_{n}\right)=0,2p_{n}+0,04

    3. un+1=pn+10,05=0,2pn+0,040,05=0,2(un+0,05)0,01=0,2unu_{n+1}=p_{n+1} - 0,05=0,2p_{n}+0,04 - 0,05=0,2\left(u_{n}+0,05\right) - 0,01=0,2u_{n}

      Donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=0,2q=0,2. Son premier terme est u1=p10,05=0,05u_{1}=p_{1} - 0,05= - 0,05.

      On a donc :

      un=u1 qn1=0,05×0,2n1u_{n}=u_1\ q^{n - 1}= - 0,05\times 0,2^{n - 1}

      et :

      pn=0,05×0,2n1+0,05p_{n}= - 0,05\times 0,2^{n - 1}+0,05

    4. Comme 1<0,2<1 - 1 < 0,2 < 1, limn+0,2n1=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }0,2^{n - 1}=0 et donc limn+pn=0,05\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p_{n}=0,05

    5. Le nombre JJ affiché est le rang à partir duquel pJ0,0510Kp_{J}\geqslant 0,05 - 10^{ - \text{K}}.

      L'algorithme se termine toujours car la suite pnp_{n} est croissante et limnpn=0,05\lim\limits_{n\rightarrow \infty }p_{n}=0,05, donc, quelque soit KK on trouvera toujours un rang JJ tel que pJ0,0510Kp_{J}\geqslant 0,05 - 10^{ - \text{K}}

    1. Pour un salarié donné, l'évènement SS : "Le salarié est malade" correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité p(S)=0,05p\left(S\right)=0,05

      Si l'on s'intéresse à l'état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.

      La variable aléatoire XX suit donc une loi binomiale de paramètres n=220n=220 et p=0,05p=0,05.

      L'espérance mathématique de XX est :

      μ=np=220×0,05=11\mu =np=220\times 0,05=11

      Son écart-type est :

      σ=np(1p)=10,453,23\sigma =\sqrt{np\left(1 - p\right)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23 à 10210^{ - 2} près

    2. La probabilité cherchée est p(7X15)p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right). Or :

      p(7X15)=p(7μσXμσ15μσ)p(1,24Xμσ1,24)p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)=p\left(\frac{7 - \mu }{\sigma }\leqslant \frac{X - \mu }{\sigma }\leqslant \frac{15 - \mu }{\sigma }\right)\approx p\left( - 1,24\leqslant \frac{X - \mu }{\sigma }\leqslant 1,24\right)

      p(7X15)p(Xμσ1,24)p(Xμσ1,24)0,8920,108p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx p\left(\frac{X - \mu }{\sigma }\leqslant 1,24\right) - p\left(\frac{X - \mu }{\sigma }\leqslant - 1,24\right)\approx 0,892 - 0,108

      p(7X15)0,78p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx 0,78 à 10210^{ - 2} près.