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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Exponentielle - Bac S Pondichéry 2013

Exercice 1   (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

Exponentielle - Bac S Pondichéry 2013

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

h(t)=a1+be0,04th\left(t\right)= \frac{a}{1+be^{ - 0,04t}}

aa et bb sont des constantes réelles positives, tt est la variable temps exprimée en jours et h(t)h\left(t\right) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu'initialement, pour t=0t=0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

Déterminer les constantes aa et bb afin que la fonction hh corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction ff définie sur [0;250]\left[0 ; 250\right] par

f(t)=21+19e0,04tf\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}}

  1. Déterminer f(t)f^{\prime}\left(t\right) en fonction de tt (ff^{\prime} désignant la fonction dérivée de la fonction ff).

    En déduire les variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;250]\left[0 ; 250\right].

  2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.

    1. Vérifier que pour tout réel tt appartenant à l'intervalle [0;250]\left[0 ; 250\right] on a f(t)=2e0,04te0,04t+19f\left(t\right)=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.

      Montrer que la fonction FF définie sur l'intervalle [0;250]\left[0 ; 250\right] par

      F(t)=50ln(e0,04t+19)F\left(t\right)=50\ln \left(e^{0,04t}+19\right) est une primitive de la fonction ff.

    2. Déterminer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [50;100]\left[50 ; 100\right].

      En donner une valeur approchée à 10210^{ - 2} près et interpréter ce résultat.

  3. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction ff.

    La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de tt.

    En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Corrigé

Partie 1

D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :

limt+h(t)=2\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2

Or limt+a1+be0.04t=a\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\frac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a (puisque limt+e0.04t=0\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0)

Donc a=2a=2.

Par ailleurs, pour t=0t=0, le plant mesure 0,1 m donc h(0)=0,1h\left(0\right)=0,1, c'est à dire:

a1+b=0,1\frac{a}{1+b}=0,1

0,1b=a0,10,1b=a - 0,1

0,1b=1,90,1b=1,9

b=19b=19

On a donc :

f(t)=21+19e0,04tf\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}}

Partie 2

  1. La dérivée de 1u\frac{1}{u} est uu2 - \frac{u^{\prime}}{u^{2}} donc :

    f(t)=2×19×(0,04e0,04t)(1+19e0,04t)2=1,52e0,04t(1+19e0,04t)2f^{\prime}\left(t\right)= - \frac{2\times 19\times \left( - 0,04e^{ - 0,04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}=\frac{1,52e^{ - 0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}

    Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur [0;250]\left[0 ; 250\right] donc ff est strictement croissante sur [0;250]\left[0 ; 250\right]

  2. On cherche à résoudre l'inéquation f(t)1,5f\left(t\right)\geqslant 1,5

    f(t)1,521+19e0,04t1,5f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow \frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}} \geqslant 1,5

    f(t)1,51,5(1+19e0,04t)2f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 1,5\left(1+19e^{ - 0,04t}\right) \leqslant 2

    f(t)1,528,5e0,04t0,5f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 28,5e^{ - 0,04t} \leqslant 0,5

    f(t)1,5e0,04t157f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow e^{ - 0,04t} \leqslant \frac{1}{57} (car 0,528,5=0,5×228,5×2=157\frac{0,5}{28,5}=\frac{0,5\times 2}{28,5\times 2}= \frac{1}{57})

    f(t)1,50,04tln(157)f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow - 0,04t \leqslant \ln\left(\frac{1}{57}\right) (car la fonction ln\ln est strictement croissante sur ]0;+[\left]0 ; +\infty \right[)

    f(t)1,5tln(57)0,04f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow t \geqslant \frac{\ln\left(57\right)}{0,04} (car ln(157)=ln(57)\ln\left(\frac{1}{57}\right)= - \ln\left(57\right)

    Comme ln(57)0,04101,08\frac{\ln\left(57\right)}{0,04} \approx 101,08, le plant de maïs dépassera 1,5 m à compter du 102ème jour.

    1. En multipliant le numérateur et le dénominateur de f(t)f\left(t\right) par e0,04te^{0,04t} on obtient:

      f(t)=2×e0,04t(1+19e0,04t)×e0,04t=2e0,04te0,04t+19f\left(t\right)=\frac{2\times e^{0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)\times e^{0,04t}}=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.

      En utilisant la formule (ln(u))=uu\left(\ln\left(u\right)\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}, on obtient :

      F(t)=50×0,04e0,04te0,04t+19=2e0,04te0,04t+19=f(t)F^{\prime}\left(t\right)=50\times \frac{0,04e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}= \frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}=f\left(t\right)

      donc la fonction FF définie sur l'intervalle [0;250]\left[0 ; 250\right] par F(t)=50ln(e0,04t+19)F\left(t\right)=50\ln \left(e^{0,04t}+19\right) est une primitive de la fonction ff.

    2. La valeur moyenne de ff sur l'intervalle [50;100]\left[50 ; 100\right] est donnée par :

      m=15050100f(t)dt=150[F(t)]50100=150(F(100)F(50))1,03m=\frac{1}{50}\int_{50}^{100}f\left(t\right)dt=\frac{1}{50}\left[F\left(t\right)\right]_{50}^{100}=\frac{1}{50}\left(F\left(100\right) - F\left(50\right)\right)\approx 1,03 à 10210^{ - 2} près.

      La croissance moyenne du plant de maïs entre le 50ème et le 100ème jour est d'environ 1m.

  3. La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour tt proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.