Partie 1

D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :

$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2$

Or $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\frac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a$ (puisque $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0$)

Donc $a=2$.

Par ailleurs, pour $t=0$, le plant mesure 0,1 m donc $h\left(0\right)=0,1$, c'est à dire:

$\frac{a}{1+b}=0,1$

$0,1b=a - 0,1$

$0,1b=1,9$

$b=19$

On a donc :

$f\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}}$

Partie 2

1. La dérivée de $\frac{1}{u}$ est $- \frac{u^{\prime}}{u^{2}}$ donc :

   $f^{\prime}\left(t\right)= - \frac{2\times 19\times \left( - 0,04e^{ - 0,04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}=\frac{1,52e^{ - 0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}$

   Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur $\left[0 ; 250\right]$ donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0 ; 250\right]$

2. On cherche à résoudre l'inéquation $f\left(t\right)\geqslant 1,5$

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow \frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}} \geqslant 1,5$

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 1,5\left(1+19e^{ - 0,04t}\right) \leqslant 2$

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 28,5e^{ - 0,04t} \leqslant 0,5$

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow e^{ - 0,04t} \leqslant \frac{1}{57}$ (car $\frac{0,5}{28,5}=\frac{0,5\times 2}{28,5\times 2}= \frac{1}{57}$)

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow - 0,04t \leqslant \ln\left(\frac{1}{57}\right)$ (car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$)

   $f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow t \geqslant \frac{\ln\left(57\right)}{0,04}$ (car $\ln\left(\frac{1}{57}\right)= - \ln\left(57\right)$

   Comme $\frac{\ln\left(57\right)}{0,04} \approx 101,08$, le plant de maïs dépassera 1,5 m à compter du 102ème jour.

3. 1. En multipliant le numérateur et le dénominateur de $f\left(t\right)$ par $e^{0,04t}$ on obtient:

      $f\left(t\right)=\frac{2\times e^{0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)\times e^{0,04t}}=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}$.

      En utilisant la formule $\left(\ln\left(u\right)\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$, on obtient :

      $F^{\prime}\left(t\right)=50\times \frac{0,04e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}= \frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}=f\left(t\right)$

      donc la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left[0 ; 250\right]$ par $F\left(t\right)=50\ln \left(e^{0,04t}+19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.

   2. La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[50 ; 100\right]$ est donnée par :

      $m=\frac{1}{50}\int_{50}^{100}f\left(t\right)dt=\frac{1}{50}\left[F\left(t\right)\right]_{50}^{100}=\frac{1}{50}\left(F\left(100\right) - F\left(50\right)\right)\approx 1,03$ à $10^{ - 2}$ près.

      La croissance moyenne du plant de maïs entre le 50ème et le 100ème jour est d'environ 1m.

4. La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour $t$ proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.