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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante)

Remarque

Pour simplifier les explications, on supposera que les suites (un)(u_n) étudiées ici sont définies pour tout entier naturel nn, c'est à dire à partir de u0u_0.

Les méthodes ci-dessous se généralisent facilement aux suites commençant à u1u_1, u2u_2, etc.

Rappel

On considère une suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn.

  • la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante si pour tout entier naturel nn : un+1unu_{n+1} \geqslant u_{n}

  • la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante si pour tout entier naturel nn : un+1unu_{n+1} \leqslant u_{n}

  • la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante si pour tout entier naturel nn : un+1=unu_{n+1} = u_{n}

  • la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante si pour tout entier naturel nn : un+1>unu_{n+1} > u_{n}

  • la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante si pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_{n}

Première méthode

Étude du signe de un+1unu_{n+1} - u_{n}

Méthode

On calcule un+1unu_{n+1} - u_{n} puis on étudie le signe du résultat.

  • si pour tout entier naturel nn : un+1un0u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0 , la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante

  • si pour tout entier naturel nn : un+1un0u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0 , la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante

  • si pour tout entier naturel nn : un+1un=0u_{n+1} - u_{n} = 0 , la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante

  • si pour tout entier naturel nn : un+1un>0u_{n+1} - u_{n} > 0 , la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • si pour tout entier naturel nn : un+1un<0u_{n+1} - u_{n} < 0 , la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante


Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que nn étant un entier naturel, il est positif ou nul.

Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite (un)(u_n) définie par un=(1)nu_n=( - 1)^n)

Exemple 1

Etudier le sens de variation de la suite (un)(u_n) définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par un=nn+1u_n= \frac{n}{n+1} .

Solution : On calcule un+1u_{n+1} en remplaçant nn par n+1n+1 dans la formule donnant unu_n :

un+1=n+1(n+1)+1=n+1n+2u_{n+1}= \frac{n+1}{(n+1)+1}= \frac{n+1}{n+2} .

Par conséquent :

un+1un=n+1n+2nn+1u_{n+1} - u_n= \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}

On réduit au même dénominateur :

un+1un=(n+1)2(n+2)(n+1)n(n+2)(n+1)(n+2)u_{n+1} - u_n= \frac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)} - \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}

un+1un=n2+2n+1(n+2)(n+1)n2+2n(n+1)(n+2)u_{n+1} - u_n= \frac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)} - \frac{n^2+2n}{(n+1)(n+2)}
un+1un=1(n+1)(n+2)u_{n+1} - u_n= \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Le numérateur et le dénominateur étant positifs (car nn est un entier naturel) un+1un>0u_{n+1} - u_n >0 donc la suite (un)(u_n) est strictement croissante.

Exemple 2

Montrer que la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et pour tout nNn \in \mathbb{N} : un+1=un+n1u_{n+1}= u_n+n - 1 est croissante pour n1n \geqslant 1.

Solution : un+1un=(un+n1)un=n1u_{n+1} - u_n= (u_n+n - 1) - u_n=n - 1

un+1un0u_{n+1} - u_n \geqslant 0 pour n1n \geqslant 1 donc la suite (un)(u_n) est croissante à partir du rang 1.

Cas particulier 1 : Suites arithmétiques

Une suite arithmétique de raison rr est définie par une relation du type un+1=un+ru_{n+1}=u_n + r.

On a donc un+1un=ru_{n+1} - u_n=r

Résultat :

Une suite arithmétique est croissante (resp. décroissante) si et seulement si sa raison est positive (resp. négative).

Cas particulier 2 : Suites géométriques

On considère une suite géométrique de premier terme et de raison tous deux positifs.

Pour une suite géométrique de raison qq : un=u0qnu_{n}=u_0 q^n.

Par conséquent :

un+1un=u0qn+1u0qn=u0qn(q1)u_{n+1} - u_n=u_0 q^{n+1} - u_0 q^n = u_0 q^n(q - 1)

un+1unu_{n+1} - u_n est donc du signe de q1q - 1 (puisqu'on a supposé u0u_0 et qq positifs).

Résultat :

Une suite géométrique de raison q>0q>0 et de premier terme u0>0u_0>0 est croissante (resp. décroissante) si et seulement si q1q \geqslant 1(resp. q1q \leqslant 1).

Deuxième méthode

Étude de fonction

Méthode

Si la suite (un)(u_n) est définie par une formule explicite du type un=f(n)u_n=f(n), on peut étudier les variations de la fonction xf(x)x \longmapsto f(x) sur [0;+[[0; +\infty[

  • si ff est croissante (resp. strictement croissante), la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante (resp. strictement croissante)

  • si ff est décroissante (resp. strictement décroissante), la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante (resp. strictement décroissante)

  • si ff est constante, la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante

Exemple 3

On reprend la suite (un)(u_n) de l'exemple 1 définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par un=nn+1u_n= \frac{n}{n+1} .

Solution : On définit ff sur [0;+[[0 ; + \infty [ par f(x)=xx+1f(x)= \frac{x}{x+1} .
f(x)=1×(x+1)1×x(x+1)2=1(x+1)2>0f^\prime (x)= \frac{1\times(x+1) - 1\times x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0
ff^\prime est strictement positive sur [0;+[[0 ; + \infty [ donc la fonction ff est strictement croissante sur [0;+[[0 ; + \infty [ et la suite (un)(u_n) est strictement croissante.

Troisième méthode

Démonstration par récurrence (en terminale S)

Méthode

Si la suite (un)(u_n) est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)), on peut démontrer par récurrence que un+1unu_{n+1} \geqslant u_n (resp. un+1unu_{n+1} \leqslant u_n) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)

Exemple 4

Soit la suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} par u0=1u_0=1 et pour tout nNn \in \mathbb{N} : un+1=2un3u_{n+1}=2u_n - 3.

Montrer que la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

Solution : Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_n.
Initialisation u0=1u_0=1 et u1=2×13=1u_1=2 \times 1 - 3= - 1u1<u0u_1 < u_0 donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité Supposons que la propriété un+1<unu_{n+1} < u_n est vraie pour un certain entier nn et montrons que un+2<un+1u_{n+2} < u_{n+1}.

un+1<un2un+1<2un u_{n+1} < u_n \Rightarrow 2u_{n+1} < 2u_n

un+1<un2un+13<2un3 \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow 2u_{n+1} - 3< 2u_n - 3

un+1<unun+2<un+1 \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1}

ce qui prouve l'hérédité.
Conclusion Pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_n donc la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

Exemple 5

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et pour tout entier naturel nn : un+1=un3+un1u_{n+1}=u_n^3+u_n - 1.

Etudier le sens de variation de la suite (un)(u_n).

Solution : Le calcul des premiers termes (u0=0u_0=0, u1=1u_1= - 1, u2=3u_2= - 3) laisse présager que la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_n.

Initialisation
u0=0u_0=0 et u1=1u_1= - 1.

u1<u0u_1 < u_0 donc la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité
Supposons que la propriété un+1<unu_{n+1} < u_n est vraie pour un certain entier nn et montrons que un+2<un+1u_{n+2} < u_{n+1}.

Posons f(x)=x3+x1f(x)=x^3+x - 1 pour tout xRx \in \mathbb{R}.

Alors :f(x)=3x2+1f^\prime (x) = 3x^2+1 est strictement positif pour tout réel xx donc la fonction ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Par conséquent :

un+1<unf(un+1)<f(un) u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n) puisque ff est strictement croissante !

un+1<unun+2<un+1 \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1}

ce qui prouve l'hérédité.

Conclusion
Pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_n donc la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.