Montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante)
Remarque
Pour simplifier les explications, on supposera que les suites étudiées ici sont définies pour tout entier naturel , c'est à dire à partir de .
Les méthodes ci-dessous se généralisent facilement aux suites commençant à , , etc.
Rappel
On considère une suite définie pour tout entier naturel .
la suite est croissante si pour tout entier naturel :
la suite est décroissante si pour tout entier naturel :
la suite est constante si pour tout entier naturel :
la suite est strictement croissante si pour tout entier naturel :
la suite est strictement décroissante si pour tout entier naturel :
Première méthode
Étude du signe de
Méthode
On calcule puis on étudie le signe du résultat.
si pour tout entier naturel : , la suite est croissante
si pour tout entier naturel : , la suite est décroissante
si pour tout entier naturel : , la suite est constante
si pour tout entier naturel : , la suite est strictement croissante
si pour tout entier naturel : , la suite est strictement décroissante
Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que étant un entier naturel, il est positif ou nul.
Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite définie par )
Exemple 1
Etudier le sens de variation de la suite définie pour tout par .
Solution : On calcule en remplaçant par dans la formule donnant :
.
Par conséquent :
On réduit au même dénominateur :
Le numérateur et le dénominateur étant positifs (car est un entier naturel) donc la suite est strictement croissante.
Exemple 2
Montrer que la suite définie par et pour tout : est croissante pour .
Solution :
pour donc la suite est croissante à partir du rang 1.
Cas particulier 1 : Suites arithmétiques
Une suite arithmétique de raison est définie par une relation du type .
On a donc
Résultat :
Une suite arithmétique est croissante (resp. décroissante) si et seulement si sa raison est positive (resp. négative).
Cas particulier 2 : Suites géométriques
On considère une suite géométrique de premier terme et de raison tous deux positifs.
Pour une suite géométrique de raison : .
Par conséquent :
est donc du signe de (puisqu'on a supposé et positifs).
Résultat :
Une suite géométrique de raison et de premier terme est croissante (resp. décroissante) si et seulement si (resp. ).
Deuxième méthode
Étude de fonction
Méthode
Si la suite est définie par une formule explicite du type , on peut étudier les variations de la fonction sur
si est croissante (resp. strictement croissante), la suite est croissante (resp. strictement croissante)
si est décroissante (resp. strictement décroissante), la suite est décroissante (resp. strictement décroissante)
si est constante, la suite est constante
Exemple 3
On reprend la suite de l'exemple 1 définie pour tout par .
Solution :
On définit sur par .
est strictement positive sur donc la fonction est strictement croissante sur et la suite est strictement croissante.
Troisième méthode
Démonstration par récurrence (en terminale S)
Méthode
Si la suite est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type ), on peut démontrer par récurrence que (resp. ) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Exemple 4
Soit la suite définie sur par et pour tout : .
Montrer que la suite est strictement décroissante.
Solution :
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel : .
Initialisation
et donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier et montrons que .
ce qui prouve l'hérédité.
Conclusion
Pour tout entier naturel : donc la suite est strictement décroissante.
Exemple 5
Soit la suite définie par et pour tout entier naturel : .
Etudier le sens de variation de la suite .
Solution : Le calcul des premiers termes (, , ) laisse présager que la suite est strictement décroissante.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel : .
Initialisation
et .
donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier et montrons que .
Posons pour tout .
Alors : est strictement positif pour tout réel donc la fonction est strictement croissante sur .
Par conséquent :
puisque est strictement croissante !
ce qui prouve l'hérédité.
Conclusion
Pour tout entier naturel : donc la suite est strictement décroissante.