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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Les suites : Généralités

I - Définition d'une suite

Définitions

Une suite uu associe à tout entier naturel nn un nombre réel noté unu_{n}.

Les nombres réels unu_{n} sont les termes de la suite.

Les nombres entiers nn sont les indices ou les rangs.

La suite uu peut également se noter (un)\left(u_{n}\right) ou (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}

Remarque

Intuitivement, une suite est une liste infinie et ordonnée de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite et les indices correspondent à la position du terme dans la liste.

Exemple

Par exemple la liste 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 5 ; ... correspond à la suite (un)\left(u_{n}\right) suivante :

u0=1,6u_{0}=1,6 (terme de rang 0)

u1=2,4u_{1}=2,4 (terme de rang 1)

u2=3,2u_{2}=3,2 (terme de rang 2)

u3=5u_{3}=5 ...

Remarque

Ne pas confondre l'écriture (un)\left(u_{n}\right) avec parenthèses qui désigne la suite et l'écriture unu_{n} sans parenthèse qui désigne le nn-ième terme de la suite.

Définition

Une suite est définie de façon explicite lorsqu'on dispose d'une formule du type un=f(n)u_{n}=f\left(n\right) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.

Exemple

La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par la formule explicite un=2n+13u_{n}=\frac{2n+1}{3} est telle que

u0=13u_{0}=\frac{1}{3}

u1=33=1u_{1}=\frac{3}{3}=1 ...

u100=2013=67u_{100}=\frac{201}{3}=67

Définition

Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on dispose du premier terme et d'une formule du type un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent..

Remarque

Il est possible de calculer un terme quelconque d'une suite définie par une relation de récurrence mais il faut au préalable calculer tout les termes précédents. Comme cela peut se révéler long, on utilise parfois un algorithme pour faire ce calcul.

Exemple

La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par la formule de récurrence

{u0=1un+1=2un−3\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=2u_{n} - 3\end{matrix}\right.

est telle que :

u0=1u_{0}=1

u1=2×u0−3=2×1−3=−1u_{1}=2\times u_{0} - 3=2\times 1 - 3= - 1

u2=2×u1−3=2×(−1)−3=−5u_{2}=2\times u_{1} - 3=2\times \left( - 1\right) - 3= - 5

etc...

II - Représentation graphique d'une suite

Définition

La représentation graphique d'une suite (un)\left(u_{n}\right) (n∈Nn \in \mathbb{N}) dans un repère du plan, s'obtient en plaçant les points de coordonnées (n;un)\left(n ; u_{n}\right) lorsque nn parcourt N\mathbb{N}

Exemple

Pour représenter la suite définie par un=1+3n+1u_{n}=1+\frac{3}{n+1} on calcule:

u0=4u_{0}=4

u1=52u_{1}=\frac{5}{2}

u2=2u_{2}=2

u3=74u_{3}=\frac{7}{4}

etc.

et on place les points de coordonnées : (0;4);(1;52);(2;2);(3;74)\left(0 ; 4\right) ; \left(1 ; \frac{5}{2}\right) ; \left(2 ; 2\right) ; \left(3 ; \frac{7}{4}\right); etc.

représentation graphique d'une suite

Représentation graphique de la suite définie par un=1+3n+1u_{n}=1+\frac{3}{n+1}

III - Sens de variation d'une suite

Définitions

On dit qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante (resp.décroissante) si pour tout entier naturel nn :

un+1⩾unu_{n+1} \geqslant u_{n} (resp. un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_{n} )

On dit qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante (resp.strictement décroissante) si pour tout entier naturel nn :

un+1>unu_{n+1} > u_{n} (resp. un+1<unu_{n+1} < u_{n} )

On dit qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est constante si pour tout entier naturel nn :

un+1=unu_{n+1} = u_{n}

Remarques

  • Une suite peut n'être ni croissante,, ni décroissante, ni constante. C'est le cas, par exemple de la suite définie par un=(−1)nu_{n}=\left( - 1\right)^{n} dont les termes valent successivement : 1;−1;1;−1;1;−1;1; - 1; 1; - 1; 1; - 1; etc.

  • En pratique pour savoir si une suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante ou décroissante, on calcule souvent un+1−unu_{n+1} - u_{n} :

    • si un+1−un⩾0u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, la suite unu_{n} est croissante

    • si un+1−un⩽0u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, la suite unu_{n} est décroissante

    • si un+1−un=0u_{n+1} - u_{n} = 0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, la suite unu_{n} est constante.

IV - Notion de limite

Définition

On dit que la suite unu_{n} converge vers le nombre réel ll (ou admet pour limite le nombre réel ll) si les termes de la suite se rapprochent de ll lorsque nn devient grand.

représentation graphique d'une suite convergeant vers 3

Suite convergente vers 3

Remarques

  • Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

  • La limite, si elle existe, est unique.

Exemples

  • La suite définie pour n>0n > 0 par un=1nu_{n}=\frac{1}{n} , converge vers zéro

    nn 1 2 3 4 5 6 7 ...
    un=1nu_{n}=\frac{1}{n} 1 0,5 0,33 0,25 0,2 0,17 0,14 ...

  • La suite définie pour tout n∈Nn\in \mathbb{N} par un=(−1)nu_{n}=\left( - 1\right)^{n} est divergente. En effet, les termes de la suite « oscillent » indéfiniment entre 11 et −1 - 1

    nn 0 1 2 3 4 5 6 ...
    un=(−1)nu_{n}=\left( - 1\right)^{n} 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...

  • La suite définie pour tout n∈Nn\in \mathbb{N} par récurrence par :

    {u0=1un+1=un+2\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+2\end{matrix}\right.

    est elle aussi divergente. Les termes de la suite croissent indéfiniment en ne se rapprochant d'aucun nombre réel.

    nn 0 1 2 3 4 5 6 ...
    unu_{n} 1 3 5 7 9 11 13 ...

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