Les suites : Généralités
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I - Définition d'une suite
Définition
Une suite $ u $ associe à tout entier naturel $ n $ un nombre réel noté $ u_{n} $.
Les nombres réels $ u_{n} $ sont les termes de la suite.
Les nombres entiers $ n $ sont les indices ou les rangs.
La suite $ u $ peut également se noter $ \left(u_{n}\right) $ ou $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $
Remarque
Intuitivement, une suite est une liste infinie et ordonnée de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite et les indices correspondent à la position du terme dans la liste.
Exemple
Par exemple la liste 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 5 ; ... correspond à la suite $ \left(u_{n}\right) $ suivante :
$ u_{0}=1{,}6 $ (terme de rang 0)
$ u_{1}=2{,}4 $ (terme de rang 1)
$ u_{2}=3{,}2 $ (terme de rang 2)
$ u_{3}=5 $ ...
Remarque
Ne pas confondre l'écriture $ \left(u_{n}\right) $ avec parenthèses qui désigne la suite et l'écriture $ u_{n} $ sans parenthèse qui désigne le $ n $-ième terme de la suite.
Définition
Une suite est définie de façon explicite lorsqu'on dispose d'une formule du type $ u_{n}=f\left(n\right) $ permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.
Exemple
La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par la formule explicite $ u_{n}=\dfrac{2n+1}{3} $ est telle que
$ u_{0}=\dfrac{1}{3} $
$ u_{1}=\dfrac{3}{3}=1 $ ...
$ u_{100}=\dfrac{201}{3}=67 $
Définition
Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on dispose du premier terme et d'une formule du type $ u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) $ permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent..
Remarque
Il est possible de calculer un terme quelconque d'une suite définie par une relation de récurrence mais il faut au préalable calculer tout les termes précédents. Comme cela peut se révéler long, on utilise parfois un algorithme pour faire ce calcul.
Exemple
La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par la formule de récurrence
$ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=2u_{n} - 3\end{matrix}\right. $
est telle que :
$ u_{0}=1 $
$ u_{1}=2\times u_{0} - 3=2\times 1 - 3= - 1 $
$ u_{2}=2\times u_{1} - 3=2\times \left( - 1\right) - 3= - 5 $
etc...
II - Représentation graphique d'une suite
Définition
La représentation graphique d'une suite $ \left(u_{n}\right) $ ($ n \in \mathbb{N} $) dans un repère du plan, s'obtient en plaçant les points de coordonnées $ \left(n ; u_{n}\right) $ lorsque $ n $ parcourt $ \mathbb{N} $
Exemple
Pour représenter la suite définie par $ u_{n}=1+\dfrac{3}{n+1} $ on calcule :
$ u_{0}=4 $
$ u_{1}=\dfrac{5}{2} $
$ u_{2}=2 $
$ u_{3}=\dfrac{7}{4} $
etc.
et on place les points de coordonnées : $ \left(0 ; 4\right) ; \left(1 ; \dfrac{5}{2}\right) ; \left(2 ; 2\right) ; \left(3 ; \dfrac{7}{4}\right) $ etc.
Représentation graphique de la suite définie par $u_{n}=1+\dfrac{3}{n+1}$
III - Sens de variation d'une suite
Définition
On dit qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante (resp.décroissante) si pour tout entier naturel $ n $ :
resp. $u_{n+1} \leqslant u_{n}$
On dit qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante (resp.strictement décroissante) si pour tout entier naturel $ n $ :
resp. $u_{n+1} < u_{n}$
On dit qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est constante si pour tout entier naturel $ n $ :
Remarque
- Une suite peut n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante. C'est le cas, par exemple de la suite définie par $ u_{n}=\left( - 1\right)^{n} $ dont les termes valent successivement : $ 1; - 1; 1; - 1; 1; - 1; $ etc.
- En pratique pour savoir si une suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante ou décroissante, on calcule souvent $ u_{n+1} - u_{n} $ :
- si $ u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, la suite $ u_{n} $ est croissante
- si $ u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, la suite $ u_{n} $ est décroissante
- si $ u_{n+1} - u_{n} = 0 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, la suite $ u_{n} $ est constante.
IV - Notion de limite
Définition
On dit que la suite $ u_{n} $ converge vers le nombre réel $ l $ (ou admet pour limite le nombre réel $ l $) si les termes de la suite se rapprochent de $ l $ lorsque $ n $ devient grand.
Suite convergente vers 3
Remarque
- Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
- La limite, si elle existe, est unique.
Exemple
La suite définie pour $ n > 0 $ par $ u_{n}=\dfrac{1}{n} $ , converge vers zéro
$n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ ... $u_{n}=\dfrac{1}{n}$ $1$ $0{,}5$ $0{,}33$ $0{,}25$ $0{,}2$ $0{,}17$ $0{,}14$ ... La suite définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=\left( - 1\right)^{n} $ est divergente. En effet, les termes de la suite « oscillent » indéfiniment entre $ 1 $ et $ - 1 $
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ ... $u_{n}=\left( - 1\right)^{n}$ $1$ $-1$ $1$ $-1$ $1$ $-1$ $1$ ... La suite définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par récurrence par :
$ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+2\end{matrix}\right. $est elle aussi divergente. Les termes de la suite croissent indéfiniment en ne se rapprochant d'aucun nombre réel.
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ ... $u_{n}$ $1$ $3$ $5$ $7$ $9$ $11$ $13$ ...
Les questions essentielles
1. Comment calculer les premiers termes d'une suite ?
Si la suite est définie explicitement par $ u_{n}=f\left(n\right) $, on remplace $ n $ par sa valeur. Si elle est définie par récurrence, on calcule de proche en proche à partir du premier terme.
Voir la fiche méthode : Calculer les premiers termes d'une suite
2. Comment représenter graphiquement une suite et deviner sa limite ?
On place dans un repère les points $ \left(n ; u_{n}\right) $ pour les premiers rangs, puis on observe leur comportement : rapprochement d'une droite horizontale, divergence vers l'infini ou oscillation.
Voir la fiche méthode : Représenter graphiquement une suite et conjecturer sa limite
3. Comment savoir si une suite est croissante ou décroissante ?
Trois méthodes principales : étudier le signe de $ u_{n+1} - u_{n} $, utiliser la fonction associée, ou raisonner par récurrence selon la définition de la suite.
Voir la fiche méthode : Montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante)
4. Comment étudier les variations d'une suite à partir de sa fonction associée ?
Si $ u_{n}=f\left(n\right) $, on étudie les variations de la fonction $ f $ sur $ \left[0 ; +\infty\right[ $ (par exemple avec sa dérivée) et on transpose la conclusion à la suite.
Voir la fiche méthode : Étudier les variations d'une suite avec la fonction associée
5. Comment écrire un algorithme pour calculer les termes d'une suite ?
On utilise une boucle « Pour » qui applique la relation de récurrence autant de fois que nécessaire, en mettant à jour une variable unique contenant le terme courant.
Voir la fiche méthode : Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite