I – Définition d’une suite
Définitions
Une suite u associe à tout entier naturel n un nombre réel noté u_{n}.
Les nombres réels u_{n} sont les termes de la suite.
Les nombres entiers n sont les indices ou les rangs.
La suite u peut également se noter \left(u_{n}\right) ou \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}
Remarque
Intuitivement, une suite est une liste infinie et ordonnée de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite et les indices correspondent à la position du terme dans la liste.
Exemple
Par exemple la liste 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 5 ; … correspond à la suite \left(u_{n}\right) suivante :
u_{0}=1,6 (terme de rang 0)
u_{1}=2,4 (terme de rang 1)
u_{2}=3,2 (terme de rang 2)
u_{3}=5 …
Remarque
Ne pas confondre l’écriture \left(u_{n}\right) avec parenthèses qui désigne la suite et l’écriture u_{n} sans parenthèse qui désigne le n-ième terme de la suite.
Définition
Une suite est définie de façon explicite lorsqu’on dispose d’une formule du type u_{n}=f\left(n\right) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.
Exemple
La suite \left(u_{n}\right) définie par la formule explicite u_{n}=\frac{2n+1}{3} est telle que
u_{0}=\frac{1}{3}
u_{1}=\frac{3}{3}=1 …
u_{100}=\frac{201}{3}=67
Définition
Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu’on dispose du premier terme et d’une formule du type u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent..
Remarque
Il est possible de calculer un terme quelconque d’une suite définie par une relation de récurrence mais il faut au préalable calculer tout les termes précédents. Comme cela peut se révéler long, on utilise parfois un algorithme pour faire ce calcul.
Exemple
La suite \left(u_{n}\right) définie par la formule de récurrence
\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=2u_{n}-3\end{matrix}\right.
est telle que :
u_{0}=1
u_{1}=2\times u_{0}-3=2\times 1-3=-1
u_{2}=2\times u_{1}-3=2\times \left(-1\right)-3=-5
etc…
II – Représentation graphique d’une suite
Définition
La représentation graphique d’une suite \left(u_{n}\right) (n \in \mathbb{N}) dans un repère du plan, s’obtient en plaçant les points de coordonnées \left(n ; u_{n}\right) lorsque n parcourt \mathbb{N}
Exemple
Pour représenter la suite définie par u_{n}=1+\frac{3}{n+1} on calcule:
u_{0}=4
u_{1}=\frac{5}{2}
u_{2}=2
u_{3}=\frac{7}{4}
etc.
et on place les points de coordonnées : \left(0 ; 4\right) ; \left(1 ; \frac{5}{2}\right) ; \left(2 ; 2\right) ; \left(3 ; \frac{7}{4}\right); etc.
Représentation graphique de la suite définie par u_{n}=1+\frac{3}{n+1}
III – Sens de variation d’une suite
Définitions
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est croissante (resp.décroissante) si pour tout entier naturel n :
u_{n+1} \geqslant u_{n} (resp. u_{n+1} \leqslant u_{n} )
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante (resp.strictement décroissante) si pour tout entier naturel n :
u_{n+1} > u_{n} (resp. u_{n+1} < u_{n} )
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est constante si pour tout entier naturel n :
Remarques
Une suite peut n’être ni croissante,, ni décroissante, ni constante. C’est le cas, par exemple de la suite définie par u_{n}=\left(-1\right)^{n} dont les termes valent successivement : 1; -1; 1; -1; 1; -1; etc.
En pratique pour savoir si une suite \left(u_{n}\right) est croissante ou décroissante, on calcule souvent u_{n+1}-u_{n} :
si u_{n+1}-u_{n} \geqslant 0 pour tout n \in \mathbb{N}, la suite u_{n} est croissante
si u_{n+1}-u_{n} \leqslant 0 pour tout n \in \mathbb{N}, la suite u_{n} est décroissante
si u_{n+1}-u_{n} = 0 pour tout n \in \mathbb{N}, la suite u_{n} est constante.
IV – Notion de limite
Définition
On dit que la suite u_{n} converge vers le nombre réel l (ou admet pour limite le nombre réel l) si les termes de la suite se rapprochent de l lorsque n devient grand.
Suite convergente vers 3
Remarques
Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.
La limite, si elle existe, est unique.
Exemples
La suite définie pour n > 0 par u_{n}=\frac{1}{n} , converge vers zéro
n 1 2 3 4 5 6 7 … u_{n}=\frac{1}{n} 1 0,5 0,33 0,25 0,2 0,17 0,14 … La suite définie pour tout n\in \mathbb{N} par u_{n}=\left(-1\right)^{n} est divergente. En effet, les termes de la suite « oscillent » indéfiniment entre 1 et -1
n 0 1 2 3 4 5 6 … u_{n}=\left(-1\right)^{n} 1 -1 1 -1 1 -1 1 … La suite définie pour tout n\in \mathbb{N} par récurrence par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+2\end{matrix}\right.est elle aussi divergente. Les termes de la suite croissent indéfiniment en ne se rapprochant d’aucun nombre réel.
n 0 1 2 3 4 5 6 … u_{n} 1 3 5 7 9 11 13 …
