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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Placements financiers (calculatrice)

  1. Une banque A propose un placement (à intérêts composés*) au taux de 8% par an. Des frais de gestion de 20 euros sont par ailleurs prélevés tous les ans sur le capital placé. On note unu_{n} le capital en euros obtenu la nn-ième année.

    1. Un client veut placer 1 000 euros (c'est à dire que u0=1000u_{0}=1 000).
      Calculer u1u_{1}, u2u_{2}.

    2. Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=1,08un−20u_{n+1}=1,08u_{n} - 20

  2. Une banque B propose un placement (à intérêts composés*) au taux de 6,5% par an sans frais de gestion.On note vnv_{n} le capital en euros obtenu la nn-ième année avec ce placement.

    1. Le client souhaite toujours placer 1 000 euros. Calculer v1v_{1}, v2v_{2}.

    2. A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer, en fonction du nombre d'années (pour 1⩽n⩽201\leqslant n\leqslant 20), le placement le plus intéressant entre celui de la banque A et celui de la banque B (pour une somme placée de 1 000 euros)

* Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour. (source : Wikipedia)

Corrigé

    1. Capital + intérêts après un an = 1000+8100×10001000 + \frac{8}{100}\times 1000

      Capital + intérêts après un an = 1000×(1+8100)=1000×1,08=10801000\times \left(1+\frac{8}{100}\right)=1000\times 1,08=1080

      Capital + intérêts - frais après un an =1080−20=10601080 - 20 = 1060

      Donc u1=1060u_{1}=1060.

      De même : u2=1080×(1+8100)−20=1124,80u_{2}=1080\times \left(1+\frac{8}{100}\right) - 20 = 1124,80

    2. Pour trouver le capital un+1u_{n+1}, on multiplie le capital de l'année précédente, unu_{n}, par 1,081,08 pour adjoindre les intérêts et on soustrait les frais de gestion de 2020 euros. On a donc bien :

      un+1=1,08un−20u_{n+1}=1,08u_{n} - 20

    1. v1=1000×(1+6,5100)=1000×1,065=1065v_{1}=1000\times \left(1+\frac{6,5}{100}\right)=1000\times 1,065=1065

      v2=1065×(1+6,5100)=1065×1,065=1134,225v_{2}=1065\times \left(1+\frac{6,5}{100}\right)=1065\times 1,065=1134,225

    2. Sur tableur, on obtient les résultats suivants pour unu_{n} et vnv_{n} :

      Tableur

      Le placement de la banque B est plus intéressant pour un placement d'une durée inférieure ou égale à 11 ans, et celui de la banque A pour un placement d'une durée supérieure ou égale à 12 ans.

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