Algorithme de calcul des premiers termes d’une suite

1. Algorithme

Voici un algorithme répondant à la question pour la suite \left(u_{n}\right) définie par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0}=3 \\ u_{n+1} = 0,5u_{n}+2\end{matrix}\right.
Remarque : Cet algorithme n’est pas le seul possible.

2. Commentaires

Lignes 1 et 2 : On définit 3 variables :

• k contiendra la valeur saisie par l’utilisateur qui déterminera l’arrêt de la boucle. k ne sera pas modifié lors du traitement mais gardera une valeur constante
• i contiendra le rang (indice) du terme que l’on calcule à partir du rang 1. i variera de 1 à k
• u contiendra les valeurs de u_{i}. Notez que l’on définit une seule variable pour l’ensemble des termes de la suites. Au départ cette variable sera initialisée à u_{0}. Puis on calculera u_{1} qui viendra «écraser» u_{0}. Puis u_{2} viendra écraser u_{1} et ainsi de suite…

Ligne 3 : La valeur saisie par l’utilisateur qui déterminera l’arrêt de l’algorithme est stockée dans la variable k
Ligne 4 : On initialise u en lui donnant la valeur de u_{0} (ici u_{0}=3).
Ligne 5 : On affiche la valeur de u (qui contient actuellement 3). Cette ligne est nécessaire pour afficher la valeur de u_{0} car la boucle qui suit n’affichera que les valeurs de u_{1} à u_{n}.
Ligne 6 : On crée une boucle qui fera varier l’indice i de 1 à k. Puisqu’ici on connait le nombre d’itérations k, une boucle Pour a été préférée à une boucle Tant que.
Ligne 7 : On modifie la valeur de u : La nouvelle valeur de u sera égale à l’ancienne valeur de u fois 0,5 plus 2. Cela traduit bien la relation de récurrence u_{n+1}= 0,5u_{n}+2.
Ligne 8 : On affiche le terme que l’on vient de calculer (à savoir u_{i}).
Ligne 9 : On « ferme » la boucle; on retourne à la ligne 6; si i valait k, la boucle se terminera alors et on passera à la ligne 10.
Ligne 10 : L’algorithme est terminé !
Remarque : Il faut toujours être très attentif au nombre de passages dans la boucle et au nombre d’affichages. Pour vérifier son algorithme, on peut :

• faire « tourner » l’algorithme (c’est à dire créer un tableau contenant les valeurs des variables étape par étape) – voir 3. ci-dessous.
• compter le nombre d’affichages :
  Ici on souhaite afficher les valeurs de u_{0} à u_{k}, c’est à dire k+1 valeurs.
  La ligne 5. effectue un premier affichage (de u_{0}).
  La boucle affichera, quant à elle, k valeurs puisque i varie de 1 à k
  En tout on a donc bien effectué k+1 affichages.

3. Résultats

Le tableau ci dessous récapitule les valeurs prises par les variables pour k=4

4. Variante

Cette fois, on ne souhaite pas afficher toutes les valeurs de u_{0} à u_{k} mais uniquement la valeur u_{k}.
Les modifications à apporter à l’algorithme sont les suivantes :

• On supprime la ligne 5 puisque l’on ne souhaite plus afficher u_{0}
• On supprime la ligne 8 puisque l’on ne souhaite plus afficher tous les termes de u_{1} à u_{n}
• On ajoute une ligne « Afficher u » après la boucle pour afficher la dernière valeur calculée dans la boucle (et qui correspond à u_{k})

On obtient l’algorithme ci-dessous :