Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Première

Méthode

Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite

Situation

On considère une suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_{0} et par une relation de récurrence du type u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)
On souhaite écrire un algorithme permettant de calculer et d'afficher les termes u_{0} à u_{k} où k est un nombre entré par l'utilisateur.

1. Algorithme

Voici un algorithme répondant à la question pour la suite \left(u_{n}\right) définie par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0}=3 \\ u_{n+1} = 0,5u_{n}+2\end{matrix}\right.
Remarque : Cet algorithme n'est pas le seul possible.

1. Variables i et k sont des entiers naturels
2. u est un réel
3. Entrée Saisir la valeur de k
4. Début traitement : u prend la valeur 3
5. Afficher u
6. Pour i allant de 1 à k
7. .........u prend la valeur 0,5\times u+2
8. .........Afficher u
9. Fin Pour
10. Fin traitement

2. Commentaires

Lignes 1 et 2 : On définit 3 variables :

  • k contiendra la valeur saisie par l'utilisateur qui déterminera l'arrêt de la boucle. k ne sera pas modifié lors du traitement mais gardera une valeur constante
  • i contiendra le rang (indice) du terme que l'on calcule à partir du rang 1. i variera de 1 à k
  • u contiendra les valeurs de u_{i}. Notez que l'on définit une seule variable pour l'ensemble des termes de la suites. Au départ cette variable sera initialisée à u_{0}. Puis on calculera u_{1} qui viendra «écraser» u_{0}. Puis u_{2} viendra écraser u_{1} et ainsi de suite...

Ligne 3 : La valeur saisie par l'utilisateur qui déterminera l'arrêt de l'algorithme est stockée dans la variable k
Ligne 4 : On initialise u en lui donnant la valeur de u_{0} (ici u_{0}=3).
Ligne 5 : On affiche la valeur de u (qui contient actuellement 3). Cette ligne est nécessaire pour afficher la valeur de u_{0} car la boucle qui suit n'affichera que les valeurs de u_{1} à u_{n}.
Ligne 6 : On crée une boucle qui fera varier l'indice i de 1 à k. Puisqu'ici on connait le nombre d'itérations k, une boucle Pour a été préférée à une boucle Tant que.
Ligne 7 : On modifie la valeur de u : La nouvelle valeur de u sera égale à l'ancienne valeur de u fois 0,5 plus 2. Cela traduit bien la relation de récurrence u_{n+1}= 0,5u_{n}+2.
Ligne 8 : On affiche le terme que l'on vient de calculer (à savoir u_{i}).
Ligne 9 : On « ferme » la boucle; on retourne à la ligne 6; si i valait k, la boucle se terminera alors et on passera à la ligne 10.
Ligne 10 : L'algorithme est terminé !
Remarque : Il faut toujours être très attentif au nombre de passages dans la boucle et au nombre d'affichages. Pour vérifier son algorithme, on peut :

  • faire « tourner » l'algorithme (c'est à dire créer un tableau contenant les valeurs des variables étape par étape) - voir 3. ci-dessous.
  • compter le nombre d'affichages :
    Ici on souhaite afficher les valeurs de u_{0} à u_{k}, c'est à dire k+1 valeurs.
    La ligne 5. effectue un premier affichage (de u_{0}).
    La boucle affichera, quant à elle, k valeurs puisque i varie de 1 à k
    En tout on a donc bien effectué k+1 affichages.

3. Résultats

Le tableau ci dessous récapitule les valeurs prises par les variables pour k=4

k i fin de boucle ? u
4 - - 3
4 1 non 3,5
4 2 non 3,75
4 3 non 3,875
4 4 non 3,9375
4 5 oui

4. Variante

Cette fois, on ne souhaite pas afficher toutes les valeurs de u_{0} à u_{k} mais uniquement la valeur u_{k}.
Les modifications à apporter à l'algorithme sont les suivantes :

  • On supprime la ligne 5 puisque l'on ne souhaite plus afficher u_{0}
  • On supprime la ligne 8 puisque l'on ne souhaite plus afficher tous les termes de u_{1} à u_{n}
  • On ajoute une ligne « Afficher u » après la boucle pour afficher la dernière valeur calculée dans la boucle (et qui correspond à u_{k})

On obtient l'algorithme ci-dessous :

1. Variables i et k sont des entiers naturels
2. u est un réel
3. Entrée Saisir la valeur de k
4. Début traitement : u prend la valeur 3
5. Pour i allant de 1 à k
6. .........u prend la valeur 0,5\times u+2
7. Fin Pour
8. Afficher u
9. Fin traitement
  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Les suites : Généralités

Exercices

  • facile[Bac] Calcul des premiers termes d'une suite
  • facileQuestions sur le cours : Suites - Généralités
  • moyen[Bac] Suite et algorithme
  • moyenPlacements financiers (calculatrice)

Méthodes

  • Montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante)

QCM

  • moyenQCM Introduction aux suites (1)
  • difficileQCM Introduction aux suites (2)

Quiz

  • facileSuites : généralités

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok