Second degré (Olympiades académiques Poitiers 2011)

Bob : « Salut Alice ! Tiens, c’est un trinôme du second degré que tu as écrit dans la marge de ta feuille.
Quelles en sont les racines ? »
Alice : « Ce sont deux entiers positifs. L’une des racines est mon âge, et l’autre est l’âge de mon petit frère Clément. »
Bob : « C’est amusant ! Voyons si je peux deviner quel âge vous avez, Clément et toi. Cela ne devrait pas être trop difficile, puisque les coefficients sont entiers. Je crois deviner ton âge, il me suffit de vérifier en remplaçant x par ce nombre. . .
Zut ! Cela donne -55 au lieu de 0. »
Alice : « C’est que je n’ai pas cet âge là !. . . »
Bob : « Sans doute. A propos, si je remplace x par 1 j’obtiens la somme des coefficients. »
Alice : « Effectivement ! Il faut aussi que tu saches que cette somme est égale à mon âge moins un. »
David qui a tout entendu, donne alors l’âge de Clément et celui d’Alice.

1. Prouver que Clément est âgé de 2 ans.
2. Déterminer l’âge d’Alice, sachant qu’elle a entre 10 et 50 ans.