Questions sur le cours : Second degré

Qu'appelle-t-on «racine» d'un polynôme $P$ ?
A quoi est égal le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$
Dans quel cas un polynôme du second degré admet-il une unique racine ?
Quelles formules donnent les solutions de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ lorsque le discriminant est strictement positif ?
Quel est le signe de $P\left(x\right)$ si $P$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif ?
Quelle est la forme canonique de $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ ?

Corrigé

Une racine d'un polynôme $P$ est une solution de l'équation $P\left(x\right)=0$
Le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ est $\Delta =b^{2} - 4ac$
Un polynôme du second degré admet une unique racine si et seulement si son discriminant est nul.
Les solutions de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ lorsque le discriminant est strictement positif sont :
$x_{1}=\frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_{2}=\frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a}$
Un polynôme du second degré $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement négatif est toujours du signe de $a$ (coefficient de $x^{2}$ )
La forme canonique est :

$P\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+ \beta$ avec $\alpha = - \frac{b}{2a}$ et $\beta =P\left(\alpha \right)$