Le coefficient de $x^{2}$ dans le polynôme $C$ est $a=0,01 > 0$. $C$ admet donc un minimum pour

$x_{0}= - \frac{b}{2a}= - \frac{0,4}{2\times 0,01}= - 20$.

La fonction $x \mapsto 0,01x^{2}+0,4x+9$ est donc strictement croissante sur $\left[ - 20 ; +\infty \right[$ et par conséquent elle est strictement croissante sur $\left[0 ; 100\right]$. Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque :

$0,01x^{2}+0,4x+9 > 86$

$0,01x^{2}+0,4x - 77 > 0$

$\Delta = b^{2} - 4ac = 0,4^{2} - 4\times 0,01\times \left( - 77\right) = 3,24$

$\sqrt{\Delta }=1,8$

$x_{1} = \frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{ - 0,4+1,8}{2\times 0,01} = 70$

$x_{2} = \frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{ - 0,4 - 1,8}{2\times 0,01} = - 110$

Donc $0,01x^{2}+0,4x - 77 > 0$ si et seulement si $x > 70$ (ou $x < - 110$ mais ici cette condition n'a pas de sens car $x$ est une quantité positive) Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque la quantité produite est supérieure à 70.

1. La recette est de 1,15 euros par produit vendu. Donc :

   $R\left(x\right)=1,15x$

2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication :

   $B\left(x\right)=1,15x - \left(0,01x^{2}+0,4x+9\right)= - 0,01x^{2}+0,75x - 9$

La fonction $B$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^{2}$ est strictement négatif. $B$ admet donc un maximum pour $x=\frac{ - b}{2a}=37,5$ . $B$ est croissante pour $x < 37,5$ et décroissante pour $x > 37,5$ Le bénéfice est maximum pour une quantité produite égale à 37 ou 38 unités.

Recherchons les racines de $B$ :

Le discriminant vaut :

$\Delta =b^{2} - 4ac = 0,75^{2} - 4*\left( - 0,01\right)*\left( - 9\right) = 0,2025$

$\sqrt{\Delta } = \sqrt{0,2025} = 0,45$

Les racines sont :

$x_{1} = \frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{ - 0,75+0,45}{2* - 0,01} = 15$

$x_{2} = \frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{ - 0,75 - 0,45}{2* - 0,01} = 60$

Le coefficient de $x^{2}$ étant strictement négatif, $B$ est positif (du signe opposé de a) entre les racines, c'est à dire qu'on est bénéficiaire lorsque la quantité produite est comprise entre 15 et 60 unités.

1. Le coût moyen est défini par :

   $C_{m}=\frac{C\left(x\right)}{x}$ pour $x > 0$ $C\left(30\right)=0,01\times 30^{2}+0,4\times 30+9= 30$

   donc :

   $C_{m}\left(30\right)=\frac{30}{30}=1$

2. $C\left(x\right) - x=0,01x^{2}+0,4x+9 - x=0,01x^{2} - 0,6x+9$

   On utilse l'identité remarquable $a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2}$ :

   $C\left(x\right) - x=\left(0,1x - 3\right)^{2}$

   $C\left(x\right) - x$ est un carré il est donc positif ou nul pour tout réel $x$.

   $C\left(x\right) - x\geqslant 0$ entraine $C\left(x\right)\geqslant x$ pour tout $x$.

   $C\left(x\right) - x=0 \Leftrightarrow \left(0,1x - 3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow 0,1x - 3=0 \Leftrightarrow x=30$

3. En divisant chaque membre de l'inégalité $C\left(x\right)\geqslant x$ par $x$ (qui est strictement positif) on obtient :

   $\frac{C\left(x\right)}{x}\geqslant 1$

   Le coût moyen de production est donc supérieur ou égal à 1 euro, quelque soit $x$. D'après la question a., ce coût est égal à 1 euro pour $x=30$. On obtient donc un coût minimum de 1 euro pour une production de 30 unités.