Polynômes et équations du second degré

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1. Fonctions polynômes

Définition

Une fonction $P$ est une fonction polynôme si elle est définie sur $\mathbb{R}$ et si on peut l'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$

Remarques

par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
les nombres $a_{i}$ s'appellent les coefficients du polynôme.

Définition (Degré d'un polynôme)

Si $P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$ (où le coefficient $a_n$ est non nul), on dit que $P$ est une fonction polynôme de degré $n$ .

Cas particuliers

la fonction nulle n'a pas de degré.
une fonction constante non nulle définie par $f\left(x\right)=a$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 0.
une fonction affine $f\left(x\right)=ax+b$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 1.

Propriété

Le produit d'un polynôme de degré $n$ par un polynôme de degré $m$ est un polynôme de degré $m+n$ .

Remarque

Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de $P+Q$ est inférieur ou égal à la fois au degré de $P$ et au degré de $Q$ .

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Cas particulier

$P$ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Définition

On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une racine du polynôme $P$ si et seulement si $P\left(a\right)=0$ .

Exemple

$1$ est racine du polynôme $P\left(x\right)=x^{3}-2x+1$ car $P\left(1\right)=0$

Théorème

Si $P$ est un polynôme de degré $n\geqslant 1$ et si $a$ est une racine de $P$ alors $P\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=\left(x-a\right)Q\left(x\right)$

où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$ .

2. Fonctions polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :

$P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$

où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ .

Exemples

$P\left(x\right)=2x^{2}+3x-5$ est un polynôme du second degré.
$P\left(x\right)=x^{2}-1$ est un polynôme du second degré avec $b=0$ mais $Q\left(x\right)=x-1$ n'en est pas un car $a$ n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).
$P\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(3-2x\right)$ est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ peut s'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2}+ \beta$

avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$ et $\beta =P\left(\alpha \right)$ .

Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme $P$ .

Définition

Le nombre $\Delta =b^{2}-4ac$ s'appelle le discriminant du trinôme $ax^{2}+bx+c$ .

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

L'équation $ax^{2}+bx+c=0$ :

n'a aucune solution réelle si $\Delta < 0$ ;
a une solution unique $x_{0}=\alpha =-\frac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
a deux solutions $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ si $\Delta > 0$ .

Exemples

$P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2$ :
$\Delta =9-4\times \left(-1\right)\times \left(-2\right)=1$ .
$P_{1}$ possède 2 racines :
$x_{1}=\frac{-3-1}{-2}=2$ et $x_{2}=\frac{-3+1}{-2}=1$
$P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4$ :
$\Delta =16-4\times 1\times 4=0$ .
$P_{2}$ possède une seule racine :
$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$ .
$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :
$\Delta =1-4\times 1\times 1=-3$ .
$P_{3}$ ne possède aucune racine.

Propriété (Somme et produit des racines)

Soit un polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement positif.

La somme des racines vaut $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ .
Le produit des racines vaut $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Remarque

Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".

Par exemple l'équation $x^{2}-4x+3=0$ admet $x_{1}=1$ comme racine puisque $1^{2}-4\times 1+3=0$ ; comme $x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=3$ l'autre racine est $x_{2}=3$ .

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Le polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ :

est toujours du signe de $a$ si $\Delta < 0$ ;
est toujours du signe de $a$ mais s'annule en $x_{0}=\alpha =-\frac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
est du signe de $a$ « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur $\left]-\infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[$ ) et du signe opposé « entre les racines » ( sur $\left]x_{1}; x_{2}\right[$ ).

Remarque

Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de $P$ de la façon suivante :

Si $\Delta > 0$ : $P\left(x\right)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (c'est à dire si $x < x_{1}$ ou $x > x_{2}$ ) et du signe opposé entre les racines (si $x_{1} < x < x_{2}$ ).
$Tableau de signe plynôme du second degré delta positif$
Si $\Delta =0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$ sauf en $x_{0}$ (où il s'annule).
$Tableau de signe plynôme du second degré delta nul$
Si $\Delta < 0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$ .
$Tableau de signe plynôme du second degré delta négatif$

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

$P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2$ :
$\Delta > 0$ et $a < 0$ .
$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta positif$
$P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4$ :
$\Delta =0$ et $a > 0$ .
$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta nul$
$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :
$\Delta < 0$ et $a > 0$ .
$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta négatif$

On rappelle que les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ et de l'axe des abscisses.

En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

$Différentes paraboles$

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1. Fonctions polynômes

Définition

Remarques

Définition (Degré d'un polynôme)

Cas particuliers

Propriété

Remarque

Propriété

Cas particulier

Définition

Exemple

Théorème

2. Fonctions polynômes du second degré

Définition

Exemples

Théorème et définition

Définition

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

Exemples

Propriété (Somme et produit des racines)

Remarque

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Remarque

Exemples

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