Polynômes et équations du second degré

1. Fonctions polynômes

Définition

Une fonction $P$ est une fonction polynôme si elle est définie sur $\mathbb{R}$ et si on peut l'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$

Remarques

par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
les nombres $a_{i}$ s'appellent les coefficients du polynôme.

Définition (Degré d'un polynôme)

Si $P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}$ (où le coefficient $a_n$ est non nul), on dit que $P$ est une fonction polynôme de degré $n$ .

Cas particuliers

la fonction nulle n'a pas de degré.
une fonction constante non nulle définie par $f\left(x\right)=a$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 0.
une fonction affine $f\left(x\right)=ax+b$ avec $a\neq 0$ est une fonction polynôme de degré 1.

Propriété

Le produit d'un polynôme de degré $n$ par un polynôme de degré $m$ est un polynôme de degré $m+n$ .

Remarque

Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de $P+Q$ est inférieur ou égal à la fois au degré de $P$ et au degré de $Q$ .

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Cas particulier

$P$ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Définition

On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une racine du polynôme $P$ si et seulement si $P\left(a\right)=0$ .

Exemple

$1$ est racine du polynôme $P\left(x\right)=x^{3} - 2x+1$ car $P\left(1\right)=0$

Théorème

Si $P$ est un polynôme de degré $n\geqslant 1$ et si $a$ est une racine de $P$ alors $P\left(x\right)$ peut s'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=\left(x - a\right)Q\left(x\right)$

où $Q$ est un polynôme de degré $n - 1$ .

2. Fonctions polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :

$P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$

où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ .

Exemples

$P\left(x\right)=2x^{2}+3x - 5$ est un polynôme du second degré.
$P\left(x\right)=x^{2} - 1$ est un polynôme du second degré avec $b=0$ mais $Q\left(x\right)=x - 1$ n'en est pas un car $a$ n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).
$P\left(x\right)=5\left(x - 1\right)\left(3 - 2x\right)$ est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ peut s'écrire sous la forme :

$P\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+ \beta$

avec $\alpha = - \frac{b}{2a}$ et $\beta =P\left(\alpha \right)$ .

Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme $P$ .

Définition

Le nombre $\Delta =b^{2} - 4ac$ s'appelle le discriminant du trinôme $ax^{2}+bx+c$ .

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

L'équation $ax^{2}+bx+c=0$ :

n'a aucune solution réelle si $\Delta < 0$ ;
a une solution unique $x_{0}=\alpha = - \frac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
a deux solutions $x_{1}=\frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_{2}=\frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a}$ si $\Delta > 0$ .

Exemples

$P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2$ :

$\Delta =9 - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=1$ .

$P_{1}$ possède 2 racines :

$x_{1}=\frac{ - 3 - 1}{ - 2}=2$ et $x_{2}=\frac{ - 3+1}{ - 2}=1$
$P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4$ :

$\Delta =16 - 4\times 1\times 4=0$ .

$P_{2}$ possède une seule racine :

$x_{0}= - \frac{ - 4}{2}=2$ .
$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :

$\Delta =1 - 4\times 1\times 1= - 3$ .

$P_{3}$ ne possède aucune racine.

Propriété (Somme et produit des racines)

Soit un polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement positif.

La somme des racines vaut $x_{1}+x_{2}= - \frac{b}{a}$ .
Le produit des racines vaut $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Remarque

Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".

Par exemple l'équation $x^{2} - 4x+3=0$ admet $x_{1}=1$ comme racine puisque $1^{2} - 4\times 1+3=0$ ; comme $x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=3$ l'autre racine est $x_{2}=3$ .

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Le polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ :

est toujours du signe de $a$ si $\Delta < 0$ ;
est toujours du signe de $a$ mais s'annule en $x_{0}=\alpha = - \frac{b}{2a}$ si $\Delta =0$ ;
est du signe de $a$ « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur $\left] - \infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[$ ) et du signe opposé « entre les racines » ( sur $\left]x_{1}; x_{2}\right[$ ).

Remarque

Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de $P$ de la façon suivante :

Si $\Delta > 0$ : $P\left(x\right)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (c'est à dire si $x < x_{1}$ ou $x > x_{2}$ ) et du signe opposé entre les racines (si $x_{1} < x < x_{2}$ ).

$Tableau de signe plynôme du second degré delta positif$
Si $\Delta =0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$ sauf en $x_{0}$ (où il s'annule).

$Tableau de signe plynôme du second degré delta nul$
Si $\Delta < 0$ : $P\left(x\right)$ est toujours du signe de $a$ .

$Tableau de signe plynôme du second degré delta négatif$

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

$P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2$ :

$\Delta > 0$ et $a < 0$ .

$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta positif$
$P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4$ :

$\Delta =0$ et $a > 0$ .

$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta nul$
$P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1$ :

$\Delta < 0$ et $a > 0$ .

$Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta négatif$

On rappelle que les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ et de l'axe des abscisses.

En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

$Différentes paraboles$

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Exemple

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Exemples

Théorème et définition

Définition

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

Exemples

Propriété (Somme et produit des racines)

Remarque

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Remarque

Exemples

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