Polynômes et équations du second degré
1. Fonctions polynômes
Définition
Une fonction est une fonction polynôme si elle est définie sur et si on peut l'écrire sous la forme :
Remarques
par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
les nombres s'appellent les coefficients du polynôme.
Définition (Degré d'un polynôme)
Si (où le coefficient est non nul), on dit que est une fonction polynôme de degré .
Cas particuliers
la fonction nulle n'a pas de degré.
une fonction constante non nulle définie par avec est une fonction polynôme de degré 0.
une fonction affine avec est une fonction polynôme de degré 1.
Propriété
Le produit d'un polynôme de degré par un polynôme de degré est un polynôme de degré .
Remarque
Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de est inférieur ou égal à la fois au degré de et au degré de .
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que est une racine du polynôme si et seulement si .
Exemple
est racine du polynôme car
Théorème
Si est un polynôme de degré et si est une racine de alors peut s'écrire sous la forme :
où est un polynôme de degré .
2. Fonctions polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
où , et sont des réels avec .
Exemples
est un polynôme du second degré.
est un polynôme du second degré avec mais n'en est pas un car n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).
est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
avec et .
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme .
Définition
Le nombre s'appelle le discriminant du trinôme .
Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)
L'équation :
n'a aucune solution réelle si ;
a une solution unique si ;
a deux solutions et si .
Exemples
:
.
possède 2 racines :
et
:
.
possède une seule racine :
.
:
.
ne possède aucune racine.
Propriété (Somme et produit des racines)
Soit un polynôme dont le discriminant est strictement positif.
La somme des racines vaut .
Le produit des racines vaut .
Remarque
Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".
Par exemple l'équation admet comme racine puisque ; comme l'autre racine est .
Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)
Le polynôme :
est toujours du signe de si ;
est toujours du signe de mais s'annule en si ;
est du signe de « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur ) et du signe opposé « entre les racines » ( sur ).
Remarque
Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de de la façon suivante :
Si : est du signe de à l'extérieur des racines (c'est à dire si ou ) et du signe opposé entre les racines (si ).
Si : est toujours du signe de sauf en (où il s'annule).
Si : est toujours du signe de .
Exemples
Si l'on reprend les exemples précédents :
:
et .
:
et .
:
et .
On rappelle que les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :