Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Première

Cours

Polynômes et équations du second degré

1. Fonctions polynômes

Définition

Une fonction PPP est une fonction polynôme si elle est définie sur R\mathbb{R}R et si on peut l'écrire sous la forme :

P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}P(x)=a​n​​x​n​​+a​n−1​​x​n−1​​+...+a​1​​x+a​0​​

Remarques

  • par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.

  • les nombres aia_{i}a​i​​ s'appellent les coefficients du polynôme.

Définition (Degré d'un polynôme)

Si P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}P(x)=a​n​​x​n​​+a​n−1​​x​n−1​​+...+a​1​​x+a​0​​ (où le coefficient an a_n a​n​​ est non nul), on dit que PPP est une fonction polynôme de degré nnn.

Cas particuliers

  • la fonction nulle n'a pas de degré.

  • une fonction constante non nulle définie par f(x)=af\left(x\right)=af(x)=a avec a≠0a\neq 0a≠0 est une fonction polynôme de degré 0.

  • une fonction affine f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a\neq 0a≠0 est une fonction polynôme de degré 1.

Propriété

Le produit d'un polynôme de degré nnn par un polynôme de degré mmm est un polynôme de degré m+nm+nm+n.

Remarque

Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de P+Q P+Q P+Q est inférieur ou égal à la fois au degré de PPP et au degré de QQQ.

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Cas particulier

PPP est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Définition

On dit que a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R est une racine du polynôme PPP si et seulement si P(a)=0P\left(a\right)=0P(a)=0.

Exemple

111 est racine du polynôme P(x)=x3−2x+1P\left(x\right)=x^{3}-2x+1P(x)=x​3​​−2x+1 car P(1)=0P\left(1\right)=0P(1)=0

Théorème

Si PPP est un polynôme de degré n⩾1n\geqslant 1n⩾1 et si aaa est une racine de PPP alors P(x)P\left(x\right)P(x) peut s'écrire sous la forme :

P(x)=(x−a)Q(x)P\left(x\right)=\left(x-a\right)Q\left(x\right)P(x)=(x−a)Q(x)

où QQQ est un polynôme de degré n−1n-1n−1.

2. Fonctions polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :

P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+cP(x)=ax​2​​+bx+c

où aaa, bbb et ccc sont des réels avec a≠0a \neq 0a≠0.

Exemples

  • P(x)=2x2+3x−5P\left(x\right)=2x^{2}+3x-5P(x)=2x​2​​+3x−5 est un polynôme du second degré.

  • P(x)=x2−1P\left(x\right)=x^{2}-1P(x)=x​2​​−1 est un polynôme du second degré avec b=0b=0b=0 mais Q(x)=x−1Q\left(x\right)=x-1Q(x)=x−1 n'en est pas un car aaa n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).

  • P(x)=5(x−1)(3−2x)P\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(3-2x\right)P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+cP(x)=ax​2​​+bx+c peut s'écrire sous la forme :

P(x)=a(x−α)2+βP\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2}+ \beta P(x)=a(x−α)​2​​+β

avec α=−b2a\alpha =-\frac{b}{2a}α=−​2a​​b​​ et β=P(α)\beta =P\left(\alpha \right)β=P(α).

Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme PPP.

Définition

Le nombre Δ=b2−4ac\Delta =b^{2}-4acΔ=b​2​​−4ac s'appelle le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+cax​2​​+bx+c.

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

L'équation ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax​2​​+bx+c=0 :

  • n'a aucune solution réelle si Δ<0\Delta < 0Δ<0 ;

  • a une solution unique x0=α=−b2ax_{0}=\alpha =-\frac{b}{2a}x​0​​=α=−​2a​​b​​ si Δ=0\Delta =0Δ=0 ;

  • a deux solutions x1=−b+Δ2ax_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}x​1​​=​2a​​−b+√​Δ​​​​​ et x2=−b−Δ2ax_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}x​2​​=​2a​​−b−√​Δ​​​​​ si Δ>0\Delta > 0Δ>0.

Exemples

  • P1(x)=−x2+3x−2P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2P​1​​(x)=−x​2​​+3x−2 :

    Δ=9−4×(−1)×(−2)=1\Delta =9-4\times \left(-1\right)\times \left(-2\right)=1Δ=9−4×(−1)×(−2)=1.

    P1P_{1}P​1​​ possède 2 racines :

    x1=−3−1−2=2x_{1}=\frac{-3-1}{-2}=2x​1​​=​−2​​−3−1​​=2 et x2=−3+1−2=1x_{2}=\frac{-3+1}{-2}=1x​2​​=​−2​​−3+1​​=1

  • P2(x)=x2−4x+4P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4P​2​​(x)=x​2​​−4x+4 :

    Δ=16−4×1×4=0\Delta =16-4\times 1\times 4=0Δ=16−4×1×4=0.

    P2P_{2}P​2​​ possède une seule racine :

    x0=−−42=2x_{0}=-\frac{-4}{2}=2x​0​​=−​2​​−4​​=2.

  • P3(x)=x2+x+1P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1P​3​​(x)=x​2​​+x+1 :

    Δ=1−4×1×1=−3\Delta =1-4\times 1\times 1=-3Δ=1−4×1×1=−3.

    P3P_{3}P​3​​ ne possède aucune racine.

Propriété (Somme et produit des racines)

Soit un polynôme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+cP(x)=ax​2​​+bx+c dont le discriminant est strictement positif.

  • La somme des racines vaut x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}x​1​​+x​2​​=−​a​​b​​.

  • Le produit des racines vaut x1x2=cax_{1}x_{2}=\frac{c}{a}x​1​​x​2​​=​a​​c​​.

Remarque

Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".

Par exemple l'équation x2−4x+3=0x^{2}-4x+3=0x​2​​−4x+3=0 admet x1=1x_{1}=1x​1​​=1 comme racine puisque 12−4×1+3=01^{2}-4\times 1+3=01​2​​−4×1+3=0 ; comme x1×x2=ca=3x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=3x​1​​×x​2​​=​a​​c​​=3 l'autre racine est x2=3x_{2}=3x​2​​=3 .

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Le polynôme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+cP(x)=ax​2​​+bx+c :

  • est toujours du signe de aaa si Δ<0\Delta < 0Δ<0 ;

  • est toujours du signe de aaa mais s'annule en x0=α=−b2ax_{0}=\alpha =-\frac{b}{2a}x​0​​=α=−​2a​​b​​ si Δ=0\Delta =0Δ=0 ;

  • est du signe de aaa « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur ]−∞ ;x1[∪]x2;+∞[\left]-\infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[]−∞ ;x​1​​[∪]x​2​​;+∞[) et du signe opposé « entre les racines » ( sur ]x1;x2[\left]x_{1}; x_{2}\right[]x​1​​;x​2​​[).

Remarque

Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de PPP de la façon suivante :

  • Si Δ>0\Delta > 0Δ>0 : P(x)P\left(x\right)P(x) est du signe de aaa à l'extérieur des racines (c'est à dire si x<x1x < x_{1}x<x​1​​ ou x>x2x > x_{2}x>x​2​​ ) et du signe opposé entre les racines (si x1<x<x2x_{1} < x < x_{2}x​1​​<x<x​2​​).

    Tableau de signe plynôme du second degré delta positif

  • Si Δ=0\Delta =0Δ=0 : P(x)P\left(x\right)P(x) est toujours du signe de aaa sauf en x0x_{0}x​0​​ (où il s'annule).

    Tableau de signe plynôme du second degré delta nul

  • Si Δ<0\Delta < 0Δ<0 : P(x)P\left(x\right)P(x) est toujours du signe de aaa.

    Tableau de signe plynôme du second degré delta négatif

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

  • P1(x)=−x2+3x−2P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2P​1​​(x)=−x​2​​+3x−2 :

    Δ>0\Delta > 0Δ>0 et a<0a < 0a<0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta positif

  • P2(x)=x2−4x+4P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4P​2​​(x)=x​2​​−4x+4 :

    Δ=0\Delta =0Δ=0 et a>0a > 0a>0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta nul

  • P3(x)=x2+x+1P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1P​3​​(x)=x​2​​+x+1 :

    Δ<0\Delta < 0Δ<0 et a>0a > 0a>0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta négatif

On rappelle que les solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0f(x)=0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe CfC_{f}C​f​​ et de l'axe des abscisses.

En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

Différentes paraboles

  Format PDF      Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Exercices

  • facileCourbes trinômes du second degré
  • facileEquations du second degré
  • facileQuestions sur le cours : Second degré
  • moyenEquation du second degré avec paramètre
  • moyenUne équation du troisième degré
  • moyenRésolution d'inéquations du second degré à l'aide d'un graphique
  • moyenInéquations se ramenant au 2nd degré
  • difficileSecond degré (Olympiades académiques Poitiers 2011)

QCM

  • moyenQCM : Polynôme du second degré

Outils

  • Outil équation du 2nd degré

Compléments

  • Fonctions polynômes et fonctions rationnelles

Quiz

  • facilePolynômes du second degré

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter