Une équation du troisième degré
Soit la fonction polynôme f définie par :
f(x)=x3−4x+3
Calculer f(1).
Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x : f(x)=(x−1)(x2+ax+b)
En déduire les racines de f.
f(1)=13−4×1+3=1−4+3=0
(x−1)(x2+ax+b)=x3+ax2+bx−x2−ax−b
On regroupe suivant les puissances de x :
(x−1)(x2+ax+b)=x3+ax2−x2+bx−ax−b=x3+(a−1)x2+(b−a)x−b
Ce polynôme est identique au polynôme f si et seulement si il a les mêmes coefficients, c'est à dire :
⎩⎨⎧a−1=0b−a=−4−b=3
ce qui donne b=−3 et a=1
On a donc f(x)=(x−1)(x2+x−3)
Trouver les racines de f, c'est résoudre l'équation f(x)=0.
(x−1)(x2+x−3)=0 est une équation "produit nul" :
(x−1)(x2+x−3)=0⇔x−1=0 ou x2+x−3=0
La première équation a pour solution x=1 (ce qui confirme la réponse de la question 1.) et la seconde admet comme solutions :
x1=2−1+√13
x2=2−1−√13 (voir détail résolution).
f admet donc 3 racines : 1,2−1+√13,2−1−√13.