Equation du second degré avec paramètre

On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ :

$x^{2} - mx+\frac{1}{4}=0$

où $m$ est réel ( $m$ est appelé paramètre )

Discuter du nombre de solution(s) de (E) selon les valeurs de $m$ .

Corrigé

Le discriminant du polynôme $x^{2} - mx+\frac{1}{4}=0$ est

$\Delta =\left( - m\right)^{2} - 4\times 1\times \frac{1}{4}$

$\Delta =m^{2} - 1$

$\Delta =\left(m - 1\right)\left(m+1\right)$

$\Delta$ est un polynôme du second degré en $m$ . Ses racines sont $- 1$ et $1$ .

$\Delta$ est strictement positif ( « du signe de $a$ » ) sur $\left] - \infty ; - 1\right[$ et sur $\left]1;+\infty \right[$

$\Delta$ est strictement négatif ( « du signe opposé de $a$ » ) sur $\left] - 1;1\right[$

Donc :

si $m < - 1$ ou $m > 1$ : l'équation (E) possède deux solutions :

$x_{1}=\frac{m+\sqrt{m^{2} - 1}}{2}$ et $x_{2}=\frac{m - \sqrt{m^{2} - 1}}{2}$
si $- 1 < m < 1$ : l'équation (E) ne possède aucune solution
si $m= - 1$ ou $m=1$ : l'équation (E) ne possède une unique solution:

$x_{0}=\frac{m}{2}$