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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions polynômes et fonctions rationnelles

1. Fonctions polynômes

Définition

Une fonction PP est une fonction polynôme si elle est définie sur R\mathbb{R} et si on peut l'écrire sous la forme :

P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}

Remarques

  • par abus de langage, on dit parfois polynôme au lieu de fonction polynôme.

  • les nombres aia_{i} s'appellent les coefficients du polynôme.

Définition

Degré d'un polynôme Si an≠0a_{n}\neq 0 dans l'écriture P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}, on dit que P est une fonction polynôme de degré nn.

Cas particuliers

  • la fonction nulle n'a pas de degré

  • une fonction constante non nulle définie par f(x)=af\left(x\right)=a avec a≠0a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 0

  • une fonction affine par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b avec a≠0a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 1

Propriété

Le produit d'un polynôme de degré nn par un polynôme de degré mm est un polynôme de degré m+nm+n.

Remarque

Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que deg(P+Q)⩽\leqslant max(deg(P),deg(Q)).

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Cas particulier

PP est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Définition

On dit que a∈Ra\in \mathbb{R} est une racine du polynôme PP si et seulement si P(a)=0P\left(a\right)=0.

Exemple

1 est racine du polynôme P(x)=x3−2x+1P\left(x\right)=x^{3} - 2x+1 car P(1)=0P\left(1\right)=0

Théorème

Si PP est un polynôme de degré n⩾1n\geqslant 1 et si aa est une racine de PP alors P(x)P\left(x\right) peut s'écrire sous la forme :

P(x)=(x−a)Q(x)P\left(x\right)=\left(x - a\right)Q\left(x\right)

où QQ est un polynôme de degré n−1n - 1

2. Fonctions rationnelles

Définition

Une fonction ff est une fonction rationnelle (ou fraction rationnelle) si on peut l'écrire sous la forme :

f(x)=P(x)Q(x)f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}

où PP et QQ sont deux fonctions polynômes.

La fonction ff est définie pour tout xx tel que Q(x)≠0Q\left(x\right)\neq 0.

Exemple

Soit la fonction ff définie sur R\{1}\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} par :

f(x)=2x+1+3x−1f\left(x\right)=2x+1+\frac{3}{x - 1}

Après réduction au même dénominateur :

f(x)=2x2−x+2x−1f\left(x\right)=\frac{2x^{2} - x+2}{x - 1}

donc ff est une fraction rationnelle.

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