Inéquations se ramenant au 2nd degré

Résoudre l'inéquation :

$\frac{4}{x - 1} \geqslant x+2$

Corrigé

Précisons tout d'abord que $\frac{4}{x - 1}$ est défini pour $x\neq 1$

$\frac{4}{x - 1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \frac{4}{x - 1} - \left(x + 2\right) \geqslant 0$

On réduit au même dénominateur :

$\phantom{\frac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{4}{x - 1} - \frac{\left(x + 2\right)\left(x - 1\right)}{x - 1} \geqslant 0$

$\phantom{\frac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{4 - \left(x^{2}+x - 2\right)}{x - 1} \geqslant 0$

$\phantom{\frac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{ - x^{2} - x+6}{x - 1} \geqslant 0$

Le numérateur est un polynôme du second degré dont les racines sont $2$ et $- 3$ (voir Calculatrice second degré)

$- x^{2} - x+6$ est du signe de $a \left(= - 1\right)$ donc négatif à "l'extérieur" des racines.

Le dénominateur $x - 1$ est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc $x - 1$ est "négatif puis positif".

On obtient le tableau de signes suivant :

$Exercice$

L'ensemble des solutions est donc :

$S=\left] - \infty ; - 3\right] \cup \left]1 ; 2\right]$