1. $7\times 3 - 5\times4=1$

   Le couple $(3~;~4)$ est donc solution de $(E)$

2. En remplaçant $1$ par $7\times 3 - 5\times4$ dans le membre de droite de $(E)$ :

   $7 x - 5 y = 1\ \Leftrightarrow \ 7 x - 5 y = 7\times 3 - 5\times4$

   $\phantom{7 x - 5 y = 1\ }\Leftrightarrow \ 7 x - 7\times 3= 5y - 5\times4$

   $\phantom{7 x - 5 y = 1\ }\Leftrightarrow \ 7 (x - 3)= 5(y - 4)$

3. Si $7 (x - 3)= 5(y - 4)$ alors $5$ divise $7(x - 3)$ et comme $7$ et $5$ sont premiers entre eux, $5$ divise $x - 3$ d'après le théorème de Gauss.

   Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x - 3=5k$ c'est à dire $x=5k+3$. On a alors :

   $5(y - 4) =7(x - 3)$

   $\phantom{5(y - 4)} =7(5k+3 - 3)$

   $\phantom{5(y - 4)} =35k$

   Donc $y - 4=7k$ c'est à dire $y=7k+4$

   Réciproquement, si $x=5k+3$ et $y=7k+4$ :

   $7 x - 5 y = 35k+21 - 35k - 20=1$

   donc $(x~;~y)$ est solution de $(E)$

   Les solutions entières de l'équation $(E)$ sont donc les couples $(5k+3~;~7k+4)$ où $k$ parcourt $\mathbb{Z}$.

Cherchons les solutions de $(E)$ telles que $0 < x < 25$ et $0 < y < 25$.

Le premier encadrement donne :

$0 < 5k+3 < 25$

$- 3 < 5k < 22$

$- 0,6 < k < 4,4$

et le second :

$0 < 7k+4 < 25$

$- 4 < 5k < 21$

$- 0,8 < k < 3$

$k$ étant entier, les seules valeurs possibles pour $k$ sont :

• $k=0$: dans ce cas, il y a $3$ jetons rouges, $4$ jetons verts et $18$ jetons blancs

• $k=1$: dans ce cas, il y a $8$ jetons rouges, $11$ jetons verts et $6$ jetons blancs

• le cas $k=2$ aboutit à une impossibilité car on aurait $13$ jetons rouges et $18$ jetons verts et le total de 25 est dépassé.

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, notons :

• $A_n$ : l'événement "le pion est sur le sommet $A$ à l'étape $n$"

• $B_n$ : l'événement "le pion est sur le sommet $B$ à l'étape $n$"

• $C_n$ : l'événement "le pion est sur le sommet $C$ à l'étape $n$" $A_n$, $B_n$ et $C_n$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

  $p(A_{n+1}) = p(A_n) \times p_{A_n}(A_{n+1}) +$$p(B_n) \times p_{B_n}(A_{n+1}) + p(C_n) \times p_{C_n} (A_{n+1})$

  • $p_{A_n}(A_{n+1})$ est la probabilité de rester en $A$ lorsque l'on est déjà en $A$ ; cette probabilité correspond à celle de tirer un jeton blanc lorsque l'on est en $A$ donc $p_{A_n}(A_{n+1}) =\frac{18}{25} = 0.72$

  • $p_{B_n}(A_{n+1})$ est la probabilité d'aller en $A$ lorsque l'on est en $B$ ; cette probabilité correspond à celle de tirer une jeton rouge lorsque l'on est en $B$ donc $p_{B_n}(A_{n+1}) =\frac{3}{25} = 0.12$

  • $p_{C_n}(A_{n+1})$ est la probabilité d'aller en $A$ lorsque l'on est en $C$ ; cette probabilité correspond à celle de tirer une jeton rouge lorsque l'on est en $C$ donc $p_{C_n}(A_{n+1}) =\frac{3}{25} = 0.12$

  On obtient donc :

  $p(A_{n+1}) = 0,72p(A_n) + 0.12p(B_n) + 0.12p(C_n)$

  c'est à dire :

  $a_{n+1} = 0,72a_n + 0.12b_n + 0.12c_n$

  Avec un raisonnement similaire on obtient également :

  $b_{n+1} = 0,12 a_n + 0,72 b_n + 0,16 c_n$

  $c_{n+1} = 0,16 a_n + 0,16 b_n + 0,72 c_n$

  Ces égalités peuvent se traduire sous forme matricielle par :

  $\begin{pmatrix}a_{n+1}& b_{n+1}& c_{n+1}\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16 \\ 0,12 &0,72 &0,16 \\0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}$

  soit:

  $X_{n+1} = X_nT$.

1. La matrice $P$ est l'inverse de la matrice $P^{ - 1}$. A la calculatrice, on trouve :

   $P=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\ 1 & - 3 & 4 \\ 1 & - 3 & - 7 \end{pmatrix}$

2. Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $T^n = PD^nP^{ - 1}$.

   • Initialisation : Pour $n=0$, la propriété s'écrit $T^0 = PD^0P^{ - 1}$ soit $I=I$ où $I$ désigne la matrice unité.

     La propriété est donc vérifiée au rang $0$.

   • Hérédité : Supposons la propriété vérifiée pour un certain rang $n \geqslant 0$; alors :

     $T^{n+1} = T \times T^n$

     $\phantom{T^{n+1}} = PDP^{ - 1}\times T^n$ (admis dans l'énoncé)

     $\phantom{T^{n+1}} = PDP^{ - 1}\times PD^nP^{ - 1}$ (hypothèse de récurrence)

     $\phantom{T^{n+1}} = PD\times D^nP^{ - 1}$

     $\phantom{T^{n+1}} = PD^{n+1}P^{ - 1}$

     ce qui prouve l'hérédité.

   On a donc prouvé par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $T^n = PD^nP^{ - 1}$.

3. La matrice $D = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}$ est diagonale, donc :

   $D^n = \begin{pmatrix}1^n&0&0\\0&0,6^n&0\\0&0&0,56^n\end{pmatrix}$

   $\phantom{D^n} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0,6^n&0\\0&0&0,56^n\end{pmatrix}$

1. Au départ, le pion est sur le sommet $A$ donc $X_0= \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ .

   L'égalité $X_n=X_0T^n$ donne :

   $\begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix} =$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix}$

   $\phantom{ \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix} } =\begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \end{pmatrix}$

   Par conséquent, $a_n=\alpha_n$, $b_n=\beta_n$ et $c_n=\gamma_n$.

   Comme $A_n$, $B_n$ et $C_n$ forment une partition de l'univers : $a_n+b_n+c_n=1$ et donc :

   $c_n=1 - a_n - b_n$

   $\phantom{c_n}=1 - \alpha_n - \beta_n$

   $\phantom{c_n}=\frac{4 - 4 \times 0.56^n}{11}$ (en utilisant les formules données dans l'énoncé et après simplification)

2. Comme $- 1 < 0,6 < 1$ et $- 1 < 0,56 < 1$

   $\lim_{n \to +\infty}0,6^n=0$

   $\lim_{n \to +\infty}0,56^n=0$

   Par conséquent :

   $\lim_{n \to +\infty}a_n=\frac{3}{10}$

   $\lim_{n \to +\infty}b_n=\frac{37}{110}$

   $\lim_{n \to +\infty}c_n=\frac{4}{11}$

3. Comme $\frac{3}{10} < \frac{37}{110} < \frac{4}{11}$, on a plus de chance de se retrouver sur le sommet C après un grand nombre d'itérations.