Partie A

1. Le tirage peut être modélisé par l'arbre pondéré ci-dessous :

   

   1. L'événement dont dont recherche la probabilité est $A \cap L$ :

      $p(A \cap L)=p(A) \times p_A(L)=\frac{1}{4} \times \frac{3}{10}=\frac{3}{40}$

   2. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de $L$ est égale à :

      $p(L)=p(A \cap L)+p(D \cap L)$

      $\phantom{p(L)}=p(A \cap L)+p(D) \times p_D(L)$

      $\phantom{p(L)}=\frac{3}{40}+\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{21}{40}$

   3. La probabilité cherchée est $p_L(D)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

      $p_L(D)=\frac{p(D \cap L)}{p(L)}$

      $p_L(D)=\frac{\frac{9}{20}}{\frac{21}{40}}=\frac{9}{20} \times \frac{40}{21}=\frac{6}{7}$

2. On cherche cette fois $p_S(A)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

   $p_S(A)=\frac{p(A \cap S)}{p(S)}$

   D'après la formule des probabilités totales :

   $p(S)=p(A \cap S) + p(D \cap S)$

   Or $D \cap S$ est l'événement impossible (il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur) donc $p(D \cap S)=0$.

   Finalement :

   $p_S(A)=\frac{p(A \cap S)}{p(A \cap S)}=1$

   Ce résultat était prévisible : comme il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur, une médaille représentant le château de Saumur est nécessairement une médaille argentée. (D'ailleurs cet argument suffisait pour répondre à la question...)

Partie B

1. Une médaille est conforme si et seulement si sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. A la calculatrice ("NormalCdf(9.9 , 10.1 , 10 , 0.06)") on trouve :

   $p(C)=p(9,9 \leqslant X \leqslant 10,1) \approx 0,904$ à $10^{ - 3}$ près

2. 1. $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$, donc la variable aléatoire $Z=\frac{Y - 10}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite (voir cours) .

   2. La machine $M_2$ produit $6$% de pièces non conformes donc elle produit $94$% de pièces conformes.

      Cela se traduit par :

      $p(9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1)=0,94$

      Or :

      $9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 \Leftrightarrow - 0,1 \leqslant Y - 10 \leqslant 0,1$

      $\phantom{9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 }\Leftrightarrow - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant \frac{Y - 10}{\sigma} \leqslant \frac{0,1}{\sigma}$

      $\phantom{9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 }\Leftrightarrow - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}$

      Par conséquent :

      $p\left( - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =0,94$

      Donc par symétrie :

      $p\left(0 \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =\frac{0,94}{2}=0,47$

      

      Et par conséquent :

      $p\left(Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =p\left(Z \leqslant 0 \right) +p\left(0 \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right)$

      $\phantom{p\left(Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right)} =0,5 + 0,47=0,97$

      

      A la calculatrice ("InvNormale(0,97)"), on trouve que :

      $p\left(Z \leqslant 1,881\right)=0,97$

      

      donc

      $\frac{0,1}{\sigma}=1,881$

      $\sigma=\frac{0,1}{1,881} \approx 0,053$ au millième près.