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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fiche de révision BAC : les nombres complexes

  1. Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?

  2. Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?

  3. Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?

  4. Qu'est-ce que le module et un argument d'un nombre complexe ? Comment s'interprètent-ils graphiquement  ?

  5. Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?

  6. Comment obtient-on la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? La forme exponentielle ?

  7. Comment s'obtient la distance ABAB à partir des affixes des points AA et BB ?

  8. Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?

  9. Quelles sont, dans C\mathbb{C}, les solutions de l'équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 ?

    Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.

    AA et BB désignent des points du plan.

  10. Quel est l'ensemble des points MM tels que AM=BMAM=BM ?

  11. Quel est l'ensemble des points MM tels que AM=kAM=k (où kk est un réel donné) ?

  12. Quel est l'ensemble des points MM tels que (MA ; MB)=±π2 (mod. 2π)(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) ?

Réponses

  1. Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?

    La forme algébrique d'un nombre complexe zz est z=x+iyz=x+iy (ou z=a+ibz=a+ib...) où xx et yy sont deux réels. xx est la partie réelle de zz et yy sa partie imaginaire.

  2. Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?

    Le conjugué de z=x+iyz=x+iy est le nombre complexe z=xiy\overline{z}=x - iy.

  3. Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?

    Dans un repère orthonormé, on représente ee nombre complexe z=x+iyz=x+iy par le point M(x ; y)M(x~;~y).
    On dit que MM est l'image de zz et que zz est l'affixe de MM.

  4. Qu'est-ce que le module et un argument d'un nombre complexe ? Comment s'interprètent-ils graphiquement  ?

    Si le plan est rapporté au repère (O ; u, v)(O~;~\vec{u},~\vec{v}), le module de zz d'image MM est la distance OMOM :
    z=OM=x2+y2|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}

    Un argument θ\theta de zz (pour zz non nul) est une mesure, en radians, de l'angle (u ; OM)( \vec{u}~;~\vec{OM}).
    On a cosθ=xz\cos \theta = \dfrac{x}{|z|} et sinθ=yz\sin \theta = \dfrac{y}{|z|}

  5. Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?

    zz, z1z_1, z2z_2 désignent des nombres complexes quelconques et nn un entier relatif. Conjugués :

    • z1+z2=z1+z2\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}

    • z1z2=z1×z2\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\times \overline{z_2}

    • (z1z2)=z1z2\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} (si z20z_2\neq 0)

    • (zn)=(z)n\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.

    Modules :

    • z1z2=z1×z2|z_1z_2| = |z_1|\times |z_2|

    • z1z2=z1z2|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|} (si z20z_2\neq 0)

    • z1+z2z1+z2|z_1+z_2| \leqslant |z_1| + |z_2| (inégalité triangulaire)

    Arguments :

    • arg(z)=arg(z)\text{arg}\left(\overline{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right)

    • arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)\text{arg}\left(z_1z_2\right)=\text{arg}\left(z_1\right)+\text{arg}\left(z_2\right)

    • arg(zn)=n×arg(z)\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)

    • arg(z1z2)=arg(z1)arg(z2)\text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\text{arg}\left(z_1\right) - \text{arg}\left(z_2\right)

  6. Comment obtient-on la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? La forme exponentielle ?

    La forme trigonométrique d'un nombre complexe zz de module rr et dont un argument est θ\theta est :
    z=r(cosθ+isinθ)z=r(\cos \theta + i \sin \theta).

    La forme exponentielle est : z=reiθz=r\text{e}^{i\theta}

  7. Comment s'obtient la distance ABAB à partir des affixes des points AA et BB ?

    Si AA et BB ont pour affixes respectives zAz_A et zBz_B : AB=zBzAAB=\left|z_B - z_A\right|

  8. Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?

    Un nombre réel non nul a pour argument 0 (mod. 2π)0~(\text{mod.}~2\pi) (s'il est positif) ou π (mod. 2π)\pi~(\text{mod.}~2\pi) (s'il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument π2 (mod. 2π)\dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est positive) ou π2 (mod. 2π) - \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est négative)

  9. Quelles sont, dans C\mathbb{C}, les solutions de l'équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 ?

    Si Δ\Delta est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles.
    Si Δ\Delta est strictement négatif, l'équation possède deux solutions conjuguées :
    z1=biΔ2az_{1}=\frac{ - b - i\sqrt{ - \Delta }}{2a}
    z2=b+iΔ2az_{2}=\frac{ - b+i\sqrt{ - \Delta }}{2a}.

    Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.

    AA et BB désignent des points du plan.

  10. Quel est l'ensemble des points MM tels que AM=BMAM=BM ?

    L'ensemble des points MM tels que AM=BMAM=BM est la médiatrice du segment [AB][AB].

  11. Quel est l'ensemble des points MM tels que AM=kAM=k (où kk est un réel donné) ?

    L'ensemble des points MM tels que AM=kAM=k est :

    • le cercle de centre AA et de rayon kk si k>0k > 0

    • le point AA si k=0k = 0

    • l'ensemble vide si k<0k < 0

  12. Quel est l'ensemble des points MM tels que (MA ; MB)=±π2 (mod. 2π)(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) ?

    l'ensemble des points MM tels que (MA ; MB)=±π2 (mod. 2π)(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) est le cercle de diamètre [AB][AB] privé des points AA et BB (pour lesquels l'angle (MA ; MB)(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB}) n'est pas défini).