Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On considère la suite $\left(z_{n}\right)$ à termes complexes définie par : $z_{0}=1+i$ et, pour tout entier naturel $n$, par

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$, où $a_{n}$ est la partie réelle de $z_{n}$ et $b_{n}$ est la partie imaginaire de $z_{n}$.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.

Partie A

1. Donner $a_{0}$ et $b_{0}$.

2. Calculer $z_{1}$, puis en déduire que $a_{1}=\frac{1 +\sqrt{2}}{3}$ et $b_{1}=\frac{1}{3}$.

3. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	A et B des nombres réels
   	K et N des nombres entiers
   Initialisation :	Affecter à A la valeur 1
   	Affecter à B la valeur 1
   Traitement :	Entrer la valeur de N
   	Pour K variant de 1 à N
   	$\quad$Affecter à A la valeur $\frac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3}$
   	$\quad$Affecter à B la valeur $\frac{B}{3}$.
   	Fin Pour
   	Afficher A

   1. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{ - 4}$ près).

      K	A	B
      1
      2

   2. Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

   En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $b_{n}$.

2. Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $b_{n}$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$.

3. 1. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ :

      $|z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}|$   (inégalité triangulaire).

      Montrer que pour tout entier naturel $n$,

      $|z_{n +1}|\leqslant \frac{2|z_{n}|}{3}.$

   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n}=|z_{n}|$.

      Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,

      $u_{n}\leqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}.$

      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.

   3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,   $|a_{n}| \leqslant u_{n}$.

      En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera