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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et complexes - Bac S Antilles Guyane 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On considère la suite (zn)\left(z_{n}\right) à termes complexes définie par : z0=1+iz_{0}=1+i et, pour tout entier naturel nn, par

zn+1=zn+zn3.z_{n+1}= \frac{z_{n}+|z_{n}|}{3}.

Pour tout entier naturel nn, on pose : zn=an+ibnz_{n}=a_{n}+ib_{n}, où ana_{n} est la partie réelle de znz_{n} et bnb_{n} est la partie imaginaire de znz_{n}.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right).

Partie A

  1. Donner a0a_{0} et b0b_{0}.

  2. Calculer z1z_{1}, puis en déduire que a1=1+23a_{1}=\frac{1 +\sqrt{2}}{3} et b1=13b_{1}=\frac{1}{3}.

  3. On considère l'algorithme suivant :

    Variables : A et B des nombres réels
    K et N des nombres entiers
    Initialisation : Affecter à A la valeur 1
    Affecter à B la valeur 1
    Traitement : Entrer la valeur de N
    Pour K variant de 1 à N
    \quadAffecter à A la valeur A+A2+B23\frac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3}
    \quadAffecter à B la valeur B3\frac{B}{3}.
    Fin Pour
    Afficher A

    1. On exécute cet algorithme en saisissant N=2N=2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10410^{ - 4} près).

      K A B
      1
      2

    2. Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice

Partie B

  1. Pour tout entier naturel nn, exprimer zn+1z_{n+1} en fonction de ana_{n} et bnb_{n}.

    En déduire l'expression de an+1a_{n+1} en fonction de ana_{n} et bnb_{n}, et l'expression de bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_{n}.

  2. Quelle est la nature de la suite (bn)\left(b_{n}\right) ? En déduire l'expression de bnb_{n} en fonction de nn, et déterminer la limite de la suite (bn)\left(b_{n}\right).

    1. On rappelle que pour tous nombres complexes zz et zz^{\prime} :

      z+zz+z|z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}|   (inégalité triangulaire).

      Montrer que pour tout entier naturel nn,

      zn+12zn3.|z_{n +1}|\leqslant \frac{2|z_{n}|}{3}.

    2. Pour tout entier naturel nn, on pose un=znu_{n}=|z_{n}|.

      Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn,

      un(23)n2.u_{n}\leqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}.

      En déduire que la suite (un)\left(u_{n}\right) converge vers une limite que l'on déterminera.

    3. Montrer que, pour tout entier naturel nn,   anun |a_{n}| \leqslant u_{n}.

      En déduire que la suite (an)\left(a_{n}\right) converge vers une limite que l'on déterminera