Nombres complexes - Bac S Métropole 2015
Exercice 3 - 5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
On considère les points , et d'affixes respectives ,
et .
Calculer le module et un argument du nombre .
Donner la forme exponentielle des nombres et .
Montrer que les points , et sont sur un même cercle de centre dont on déterminera le rayon.
Placer les points , et dans le repère .
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère les points , et d'affixes respectives , et .
Montrer que .
Calculer le module et un argument du nombre .
Pour la suite on admet que et .
On admet que si et sont deux points du plan d'affixes respectives et alors le milieu du segment a pour affixe et la longueur est égale à .
On note , et les affixes des milieux respectifs , et des segments , et .
Calculer et . On admet que .
Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle ?
Justifier ce résultat.
Corrigé
Le discriminant de l'équation est :
est strictement négatif donc l'équation admet deux racines complexes conjuguées :
Soit un argument de :
donc (modulo ).
La forme exponentielle de est .
étant le conjugué de , il a le même module et des arguments opposés.
Les points , et appartiennent au cercle de centre et de rayon .
Le module de est et un de ses arguments est
étant le milieu du segment :
De même, est le milieu du segment donc :
D'après la figure ci-dessous, le triangle semble équilatéral.
Montrons que c'est bien le cas.
.
.
.
Les trois côtés sont égaux donc est un triangle équilatéral.