Nombres complexes - Equation du second degré

Pour quelle valeur de $a$ l'équation $z^{2} - 2z+a=0$ admet-elle le nombre $1+i$ comme solution ?
Quelle est alors l'autre solution ?

Corrigé

$1+i$ est solution de l'équation $z^{2} - 2z+a=0$ si et seulement si :

$\left(1+i\right)^{2} - 2\left(1+i\right)+a=0$

$1+2i+i^{2} - 2 - 2i+a=0$

$- 2+a=0$

$a=2$
On pourrait calculer le discriminant, mais il est plus simple de dire que le polynôme $z^{2} - 2z+2$ est à coefficients réels donc que les racines sont conjuguées. On obtient donc :

$z_{2}=\overline{1+i}=1 - i$