Géométrie dans l'espace - Bac S Métropole 2015

Exercice 2 - 3 points

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé $(O, I, J, K)$ d'unité 1 cm, on considère les points $A(0~;~ - 1~;~5)$ , $B(2~;~ - 1~;~5)$ , $C(11~;~0~;~1)$ , $D(11~;~4~;~4)$ .

Un point $M$ se déplace sur la droite $(AB)$ dans le sens de $A$ vers $B$ à la vitesse de 1 cm par seconde.

Un point $N$ se déplace sur la droite $(CD)$ dans le sens de $C$ vers $D$ à la vitesse de 1 cm par seconde.

À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en $A$ et le point $N$ est en $C$ .

On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$ , ont pour coordonnées : $M_t(t~;~ - 1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1+0,6 t)$ .

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. La droite $(AB)$ est parallèle à l'un des axes $(OI)$ , $(OJ)$ ou $(OK)$ . Lequel ?
2. La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathscr{P}$ parallèle à l'un des plans $(OIJ)$ , $(OIK)$ ou $(OJK)$ . Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathscr{P}$ .
3. Vérifier que la droite $(AB)$ , orthogonale au plan $\mathscr{P}$ , coupe ce plan au point $E(11~;~ - 1~;~5)$ .
4. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?
1. Montrer que $M_t^{}N_t ^2 = 2 t^2 - 25,2 t+138$ .
2. À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale ?

Corrigé

1. La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
  Ceci se traduit par $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OI}$ .
  Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OI}$ sont colinéaires donc la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe $(OI)$ .
2. $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ , par conséquent :
  
  $\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{OJ} + 3\overrightarrow{OK}$ .
  
  Les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{OJ}$ et $\overrightarrow{OK}$ sont coplanaires, donc la droite $(CD)$ est incluse dans le plan $\mathscr P$ défini par le point $C$ et les vecteurs $\overrightarrow{OJ}$ et $\overrightarrow{OK}$ ; ce plan est parallèle au plan $(OJK)$ .
  
  Le repère $(O,I,J,K)$ étant orthonormé, le vecteur $\overrightarrow{OI}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{OJ}$ et $\overrightarrow{OK}$ . C'est donc un vecteur normal au plan $\mathscr P$ .
  
  L'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ est donc de la forme : $x+d=0$ .
  
  Ce plan passe par le point $C$ donc les coordonnées du point $C$ vérifient l'équation.
  
  On en déduit : $11+d=0$ donc $d= - 11$ .
  
  L'équation de $\mathscr P$ est alors : $x - 11=0$ .
3. Il est immédiat que les coordonnées du point $E$ vérifient l'équation du plan $\mathscr P$ donc $E \in \mathscr P$ .
  
  Par ailleurs, les coordonnées du vecteurs $\overrightarrow{AE}$ sont $\begin{pmatrix} 11 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AE}=\frac{11}{2}\overrightarrow{AB}$ .
  
  Les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ étant colinéaires, les points $A$ , $B$ et $E$ sont alignés et $E \in (AB)$ .
  
  $E$ appartient à la fois à $\mathscr P$ et $(AB)$ donc $E$ est le point d'intersection de $(AB)$ et de $\mathscr P$ .
4. La droite $(AB)$ passe par le point $A(0~;~ - 1~;~5)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ; une représentation paramétrique de $(AB)$ est : $\begin{cases} x=2t \\ y= - 1 \\ z=5 \end{cases}\qquad t \in \mathbb{R}$
  
  De même, la droite $(CD)$ passe par le point $C(11~;~0~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ ; une représentation paramétrique de $(CD)$ est : $\begin{cases} x=11 \\ y=4s \\ z=3s+1 \end{cases}\qquad s \in \mathbb{R}$
  
  Ces droites ont un point commun si et seulement s'il existe un couple de réels $(t~;~s)$ tel que : $\begin{cases} 2t=11 \\ - 1=4s \\ 5=3s+1 \end{cases}$ .
  
  Or, ce système n'a pas de solution donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.
1. $\overrightarrow{M_tN_t}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}11 - t\\0,8t+1\\0,6t - 4\end{pmatrix}$ donc : $M_tN_t = \sqrt{(11 - t)^2 + (0,8t + 1)^2+(0,6t - 4)^2}$
  $M_tN_t^2 = 121 - 22t + t^2$ $+ 0,64t^2+ 1,6t + 1+ 0,36t^2$ $- 4,8t + 16$
  $M_tN_t^2 = 2t^2 - 25,2t+138$
2. La fonction carrée étant strictement croissante sur $\left[0~;~+\infty \right[$ , la distance $M_tN_t$ est minimale lorsque $M_tN_t^2$ est minimal.
  
  Or $M_tN_t^2$ est un polynôme du second degré en $t$ de coefficients $a=2$ , $b= - 25,2$ et $c=138$ . $a$ est positif donc ce polynôme admet un minimum pour $t= - \frac{b}{2a}=\frac{25,2}{4}=6,3$

Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Maths-cours

Géométrie dans l'espace - Bac S Métropole 2015

Exercice 2 - 3 points

Corrigé

Autres exercices de ce sujet :