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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et probabilités

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé [latex](O ; \vec{u} , \vec{v} )[/latex]. Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées [latex]1, 2, 3[/latex]. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l'urne dont le numéro sera noté [latex]a[/latex] puis, sans la remettre dans l'urne, une seconde boule dont le numéro sera noté [latex]b[/latex]. Au résultat[latex](a ; b)[/latex] du tirage, on associe l'application du plan complexe dans lui-même qui à tout point [latex]M[/latex] d'affixe [latex]z[/latex] fait correspondre le point [latex]M^\prime[/latex] d'affixe [latex]z^\prime[/latex] tel que [latex]z^\prime= \alpha z[/latex] avec [latex] \alpha = \frac{a}{2} e^{ib \frac{ \pi }{3} }[/latex].
  1. Quels sont les résultats [latex](a ; b)[/latex] possibles ? Quelles sont les valeurs de[latex] \alpha [/latex] correspondantes ?
  2. Soit [latex]A[/latex] le point d'affixe [latex]z_0= \sqrt{3} + i[/latex] et [latex]A^\prime[/latex] le point d'affixe [latex]z_0^\prime = \alpha z_0[/latex]image de [latex]A[/latex] par l'application associée au résultat d'une épreuve. Calculer le module et l' argument de [latex]z_0[/latex] et ceux de [latex]z^\prime_0[/latex] suivant les valeurs de [latex](a ; b)[/latex].
  3. Calculer la probabilité de l'événement [latex]E_1[/latex] : [latex]O, A[/latex] et [latex]A^\prime[/latex] sont alignés puis celle de l'événement [latex]E_2[/latex] :[latex]z^\prime_0[/latex] est un imaginaire pur.
  4. Soit [latex]X[/latex] la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de [latex]z^\prime_0[/latex]. Donner la loi de probabilité de [latex]X[/latex] et calculer son espérance mathématique.

Corrigé

Solution rédigée par Paki [pdf-embedder url="/assets/imgsvg/slides/nombres-complexes-probabilites/nombres-complexes-probabilites.pdf" width="676"]

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