Suites arithmétiques et géométriques
Exercices
Intérêts composés
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Un capital $ C_{0} $ de $ 500 $€ est placé à intérêts composés au taux de $ 4\% $ par an (cela signifie que chaque année le capital augmente de $ 4\% $ par rapport à l'année précédente)
On note $ C_{n} $ le capital obtenu après $ n $ années.
- Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $
- Calculer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(C_{n}\right) $?
- Exprimer $ C_{n} $ en fonction de $ n $.
- Quel est le capital obtenu au bout de 5 ans ?
Corrigé
- Le coefficient multiplicateur correspondant au taux de $ 4\% $ est
$ CM=1+\dfrac{4}{100}=1{,}04 $
On a donc :
$ C_{1}=1,04\times C_{0}=1{,}04\times 500=520 $
$ C_{2}=1,04\times C_{1}=1{,}04\times 520=540{,}8 $ - $ C_{n+1}=1{,}04\times C_{n} $
$ C_{n} $ est une suite géométrique de premier terme $ C_{0}=500 $ et de raison $ 1{,}04 $. - On applique la formule donnant le $ n $-ième terme d'une suite géométrique.
$ C_{n}=C_{0}\times q^{n}=500\times 1{,}04^{n} $ - $ C_{5}=500\times 1{,}04^{5}\approx 608{,}33 $
Le capital obtenu au bout de 5 ans est de $ 608{,}33 $ euros.