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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites arithmétiques et géométriques

1. Suites arithmétiques

Définition

On dit qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s'il existe un nombre rr tel que, pour tout n∈Nn\in \mathbb{N} :

un+1=un+ru_{n+1}=u_{n}+r

Le réel rr s'appelle la raison de la suite arithmétique.

Remarque

Pour démontrer qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmétique, on pourra calculer la différence un+1−unu_{n+1} - u_{n}.

Si on constate que la différence est une constante rr, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison rr.

Exemple

Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=3n+5u_{n}=3n+5.

un+1−un=3(n+1)+5−(3n+5)u_{n+1} - u_{n}=3\left(n+1\right)+5 - \left(3n+5\right)=3n+3+5−3n−5=3=3n+3+5 - 3n - 5=3

La suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=3r=3

Propriété

Si la suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmétique de raison rr alors pour tous entiers naturels nn et kk :

un=uk+(n−k)×ru_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)\times r

En particulier :

un=u0+n×ru_{n}=u_{0}+n\times r

Exemple

Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite arithmétique de raison 22 et de premier terme u0=5u_{0}=5.

u100=5+2×100=205u_{100}=5+2\times 100=205

Propriété

Réciproquement, si aa et bb sont deux nombres réels et si la suite (un)\left(u_{n}\right) est définie par un=a×n+bu_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r=ar=a et de premier terme u0=bu_{0}=b.

Démonstration

un+1−un=a(n+1)+b−(an+b)u_{n+1} - u_{n}=a\left(n+1\right)+b - \left(an+b\right)=an+a+b−an−b=a=an+a+b - an - b=a

et

u0=a×0+b=bu_{0}=a\times 0+b=b

Propriété

La représentation graphique d'une suite arithmétique est formée de points alignés.

Remarque

Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un=u0+n×ru_{n}=u_{0}+n\times r donc les points représentant la suite sont sur la droite d'équation y=rx+u0y=rx+u_{0}

Exemple

représentation graphique d'une suite

Suite arithmétique de premier terme u0=1u_{0}=1 et de raison r=12r=\frac{1}{2}

Théorème

Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison rr :

  • si r>0r > 0 alors (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • si r=0r=0 alors (un)\left(u_{n}\right) est constante

  • si r<0r < 0 alors (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.

Démonstration

Ce résultat découle immédiatement de un+1−un=ru_{n+1} - u_{n}=r

Théorème (Somme des premiers entiers)

Pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N} :

0+1+...+n=n(n+1)20+1+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}

Démonstration

Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l'ordre des termes :

S=0+1+2+...+nS = 0 + 1 + 2 + . . . + n (1)
S=n+n−1+n−2+...+0S = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 0 (2)

Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à nn (0+n=n0+n=n ; 1+n−1=n1+n - 1=n ; 2+n−2=n2 + n - 2=n, etc.). Comme en tout il y a n+1n+1 termes on trouve :

S+S=n+n+n+...+nS+S = n + n + n + . . . + n

2S=n(n+1)2S = n\left(n+1\right)

S=n(n+1)2S = \frac{n\left(n+1\right)}{2}

Exemple

Soit à calculer la somme S100=1+2+...+100S_{100}=1+2+. . .+100.

S100=100×1012=50×101=5050S_{100}=\frac{100\times 101}{2}=50\times 101=5050

2. Suites géométriques

Définition

On dit qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel qq tel que, pour tout n∈Nn\in \mathbb{N} :

un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_{n}

Le réel qq s'appelle la raison de la suite géométrique (un)\left(u_{n}\right).

Remarque

Pour démontrer qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.

Si ce rapport est une constante qq, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison qq.

Exemple

Soit la suite (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie par un=32nu_{n}=\frac{3}{2^{n}}.

Les termes de la suite sont tous strictement positifs et

un+1un=32n+1\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3}{2^{n+1}}÷32n\frac{3}{2^{n}}=32n+1×2n3=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=2n2n+1=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=2n2×2n=12=\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}

La suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison 12\frac{1}{2}

Propriété

Si la suite (un)\left(u_{n}\right) est géométrique de raison qq, pour tous entiers naturels nn et kk :

un=uk×qn−ku_{n}=u_{k}\times q^{n - k}.

En particulier :

un=u0×qnu_{n}=u_{0}\times q^{n}.

Propriété

Réciproquement, soient aa et bb deux nombres réels. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=a×bnu_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=bq=b et de premier terme u0=au_{0}=a.

Démonstration

un+1=a×bn+1=a×bn×b=un×bu_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b

et

u0=a×b0=a×1=au_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a

Théorème

Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q>0q > 0 et de premier terme strictement positif :

  • Si q > 1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • Si 0 < q < 1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante

  • Si q=1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante

Remarques

  • Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé.

  • Si la raison est strictement négative, la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Théorème

Pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N} et tout réel q≠1q\neq 1

1+q+q2+...+qn=1−qn+11−q1+q+q^{2}+. . . +q^{n}=\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Remarque

Cette formule n'est pas valable pour q=1q=1. Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent 1; la somme est donc égale au nombre de termes n+1n+1

Démonstration

On multiplie chaque membre par qq. Cela incrémente chacun des exposants de qq :

S=1+q+q2+...+qnS = 1 + q + q^{2} + . . . + q^{n} (1)
qS=q+q2+q3+...+qn+1qS = q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n+1} (2)

On soustrait termes à termes les égalités (1) et (2); tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier :

S−qS=1−q+q−q2+q2−q3+...S - qS = 1 - q+q - q^{2}+q^{2} - q^{3}+ . . .+qn−qn+1 +q^{n} - q^{n+1}

(1−q)S=1−qn+1\left(1 - q\right)S = 1 - q^{n+1}

S=1−qn+11−qS = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Exemple

Soit à calculer la somme S=1+2+4+8+16...+210S=1+2+4+8+16. . .+2^{10}

S=1−210+11−2=1−20481−2S=\frac{1 - 2^{10+1}}{1 - 2}=\frac{1 - 2048}{1 - 2}=−2047−1=2047=\frac{ - 2047}{ - 1}=2047

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