Inéquations se ramenant au 2nd degré

Corrigé

Précisons tout d’abord que \frac{4}{x-1} est défini pour x\neq 1
\frac{4}{x-1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \frac{4}{x-1}-\left(x + 2\right) \geqslant 0
On réduit au même dénominateur :
\phantom{\frac{4}{x-1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{4}{x-1}-\frac{\left(x + 2\right)\left(x-1\right)}{x-1} \geqslant 0
\phantom{\frac{4}{x-1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{4-\left(x^{2}+x-2\right)}{x-1} \geqslant 0
\phantom{\frac{4}{x-1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \frac{-x^{2}-x+6}{x-1} \geqslant 0
Le numérateur est un polynôme du second degré dont les racines sont 2 et -3 (voir Calculatrice second degré)
-x^{2}-x+6 est du signe de a \left(=-1\right) donc négatif à “l’extérieur” des racines.
Le numérateur x-1 est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc x-1 est “négatif puis positif”.
On obtient le tableau de signes suivant :

L’ensemble des solutions est donc :
S=\left]-\infty ; -3\right] \cup \left]1 ; 2\right]