Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[Bac] Etude d'une fonction avec logarithme (2)

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2012.

Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Métropole 2012

On désigne par ff la fonction définie sur l'intervalle [1;+[\left[1 ; +\infty \right[ par

f(x)=1x+1+ln(xx+1).f\left(x\right) = \frac{1}{x+1} + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right).

  1. Déterminer la limite de la fonction ff en ++ \infty .

  2. Démontrer que pour tout réel xx de l'intervalle [1;+[\left[1 ; +\infty \right[, f(x)=1x(x+1)2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x\left(x+1\right)^{2}}.

    Dresser le tableau de variation de la fonction ff.

  3. En déduire le signe de la fonction ff sur l'intervalle [1;+[\left[1 ; +\infty \right[.