[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (2)

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2012.

Le sujet complet nécessite l'étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales.

On désigne par $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right) = \dfrac{1}{x+1} + \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right). $

Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
Démontrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $, $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)^{2}} $.

Dresser le tableau de variation de la fonction $ f $.
En déduire le signe de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $.

Corrigé

On remarque que $ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\dfrac{1}{x+1}\right) = 0 $ et $ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right) = \ln(1) = 0 $.

On en déduit que :

$ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0 $
Pour tout réel de $ I $, on a :

$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{u}\right)' + [\ln(v)]' = -\dfrac{u'}{u^2} + \dfrac{v'}{v} $

avec $ u = x+1 $ et $ u' = 1 $, d'où $-\dfrac{u'}{u^2} = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$

et $ v = \dfrac{x}{x+1} $ et $ v' = \dfrac{1}{(x+1)^2} $, d'où $\dfrac{v'}{v} = \dfrac{1}{(x+1)^2} \times \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{1}{x(x+1)}$.

Donc :

$ f'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{-x + x+1}{x(x+1)^2} = \dfrac{1}{x(x+1)^2} $

Ceci montre que $ f'(x) $ a le même signe que $ x $, c'est-à-dire que $ f' $ est strictement positive sur $ I $.

En remarquant que $ f(1) = \dfrac{1}{2} + \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \ln(2) \approx -0{,}193 $ à $ 10^{-3} $ près, on peut dresser le tableau de variation de $ f $ :
On en déduit que $ f(x) < 0 $ sur $ I $.