Exercice 3   (6 points)

Commun à tous les candidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$ par

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$, $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x\left(x+1\right)^{2}}$.

   Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

3. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$.

Partie B

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par

$u_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} - \ln n.$

1. On considère l'algorithme suivant :

   Variables: $i$ et $n$ sont des entiers naturels. $u$ est un réel. Entrée: Demander à l'utilisateur la valeur de $n$. Initialisation: Affecter à $u$ la valeur 0. Traitement: Pour $i$ variant de 1 à $n$. Affecter à $u$ la valeur :$u + \frac{1}{i}$ FinPour Sortie : Afficher $u$.

   Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n=3$.

2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.

3. Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{ - 3}$.

   $n$	4	5	6	7	8	9	10	100	1000	1500	2000
   $u_{n}$	0,697	0,674	0,658	0,647	0,638	0,632	0,626	0,582	0,578	0,578	0,577

   À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$,

$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ . . . +\frac{1}{n} - \ln n.$

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,

   $u_{n+1} - u_{n}=f\left(n\right)$

   où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

   En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

2. 1. Soit $k$ un entier strictement positif.

      Justifier l'inégalité $\int_{k}^{k + 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{x}\right) dx \geqslant 0$.

      En déduire que $\int_{k}^{k + 1}\frac{1}{x} \text{d}x \leqslant \frac{1}{k}$.

      Démontrer l'inégalité $\ln \left(k + 1\right) - \ln k \leqslant \frac{1}{k}$

   2. Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par $1, 2,$ ... , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,

      $\ln \left(n + 1\right) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ . . . +\frac{1}{n}.$

   3. En déduire que pour tout entier strictement positif $n$, $u_{n} \geqslant 0$.

3. Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.