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Fonction logarithme népérien

1. Définition de la fonction logarithme népérien

Théorème et définition

Pour tout réel x>0x>0, l'équation ey=xe^{y}=x, d'inconnue yy, admet une unique solution.

La fonction logarithme népérien, notée ln\ln, est la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ qui à x>0x > 0, associe le réel yy solution de l'équation ey=xe^{y}=x.

Remarques

  • Pour x⩽0x\leqslant 0, par contre, l'équation ey=xe^{y}=x n'a pas de solution.

Propriétés

  • Pour tout réel x>0x > 0 et tout y∈Ry \in \mathbb{R} : ey=x⇔y=ln(x) e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right).

  • Pour tout réel x>0x > 0 : eln(x)=xe^{\ln\left(x\right)}=x.

  • Pour tout réel xx : ln(ex)=x\ln\left(e^{x}\right)=x.

Remarques

  • Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition.

  • On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques.

  • On en déduit immédiatement : ln(1)=0\ln\left(1\right)=0 et ln(e)=1\ln\left(e\right)=1.

2. Etude de la fonction logarithme népérien

Théorème

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[\left]0 ;+\infty \right[ et sa dérivée est définie par :

ln′(x)=1x.\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}.

Propriété

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

Démonstration

Sa dérivée ln′(x)=1x\ln^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x} est strictement positive sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

Remarques

  • Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

Représentation graphique de la fonction logarithme népérien

Représentation graphique de la fonction logarithme népérien

Propriété

Soit uu une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

Alors la fonction f:x↦ln(u(x)) f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur II et :

f′=u′uf^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}.

Exemple

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln(x2+1)f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right).

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f′(x)=2xx2+1f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Théorème

Si aa et bb sont 2 réels strictement positifs :

  • lna=lnb\ln a=\ln b si et seulement si a=ba=b.

  • lna<lnb\ln a < \ln b si et seulement si a<ba < b.

Remarques

  • Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.

  • En particulier, comme ln(1)=0\ln\left(1\right)=0 : lnx<0⇔x<1\ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1. N'oubliez donc pas que ln(x)\ln\left(x\right) peut être négatif (si 0<x<10 < x < 1); c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !

3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Théorème

Si aa et bb sont 2 réels strictement positifs et si n∈Zn \in \mathbb{Z} :

  • ln(ab)=lna+lnb\ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b.

  • ln(1a)=−lna\ln\left(\frac{1}{a}\right)= - \ln a.

  • ln(ab)=lna−lnb\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b.

  • ln(an)=nlna\ln\left(a^{n}\right)=n \ln a .

  • ln(a)=12lna\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2} \ln a .

Exemples

  • ln(4)=ln(22)=2ln(2)\ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right).

  • Pour x>1x > 1 : ln(x+1x−1)=ln(x+1)−ln(x−1)\ln\left(\frac{x+1}{x - 1}\right)= \ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right).

    Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que x>1x > 1.

    Si x<−1x < - 1, l'expression ln(x+1x−1)\ln\left(\frac{x+1}{x - 1}\right) est définie mais pas ln(x+1)−ln(x−1)\ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right).

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