Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions : limites - continuité

1. Fonctions continues

Définition

Une fonction définie sur un intervalle II est continue sur II si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon

Exemples

  • Les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R}.

  • Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.

  • La fonction racine carrée est continue sur R+\mathbb{R}^+.

  • Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R\mathbb{R}

Théorème

Si ff et gg sont continues sur II, les fonctions f+gf+g, kfkf ( kRk\in \mathbb{R} ) et f×gf\times g sont continues sur II.

Si, de plus, gg ne s'annule pas sur II, la fonction fg\frac{f}{g}, est continue sur II.

Théorème (lien entre continuité et dérivabilité)

Toute fonction dérivable sur un intervalle II est continue sur II.

Remarque

Attention ! La réciproque est fausse.

Par exemple, la fonction valeur absolue (xxx\mapsto |x|) est continue sur R\mathbb{R} tout entier mais n'est pas dérivable en 0.

2. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Si ff est une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] et si y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right), alors l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right].

Remarques

  • Ce théorème dit que l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dans les exercices où l'on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous.

  • Cas particulier fréquent : Si ff est continue et si f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) sont de signes contraires, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] (en effet, si f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) sont de signes contraires, 00 est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right))

Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires)

Si ff est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] et si y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right), l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet une unique solution sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right].

Remarques

  • Il faut vérifier 3 conditions pour pouvoir appliquer ce corollaire:

    • ff est continue sur [a;b]\left[a;b\right]

    • ff est strictement croissante ou strictement décroissante sur [a;b]\left[a;b\right]

    • y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right)

Exemple

Soit une fonction ff définie sur [0;4][0 ; 4] dont le tableau de variations est fourni ci-dessous :

tableau de variations - théorème des valeurs intermédiaires

On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=1f\left(x\right)= - 1

L'unique flèche oblique montre que la fonction ff est continue et strictement croissante sur [0;4]\left[0;4\right].

1 - 1 est compris entre f(0)=3f\left(0\right)= - 3 et f(4)=1f\left(4\right)=1 .

Par conséquent, l'équation f(x)=1f\left(x\right)= - 1 admet une unique solution sur l'intervalle [0;4][0 ; 4].