Fonctions : limites - continuité
1. Fonctions continues
Définition
Une fonction définie sur un intervalle est continue sur si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon
Exemples
Les fonctions polynômes sont continues sur .
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur .
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur
Théorème
Si et sont continues sur , les fonctions , ( ) et sont continues sur .
Si, de plus, ne s'annule pas sur , la fonction , est continue sur .
Théorème (lien entre continuité et dérivabilité)
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur .
Remarque
Attention ! La réciproque est fausse.
Par exemple, la fonction valeur absolue () est continue sur tout entier mais n'est pas dérivable en 0.
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Si est une fonction continue sur un intervalle et si est compris entre et , alors l'équation admet au moins une solution sur l'intervalle .
Remarques
Ce théorème dit que l'équation admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dans les exercices où l'on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous.
Cas particulier fréquent : Si est continue et si et sont de signes contraires, l'équation admet au moins une solution sur l'intervalle (en effet, si et sont de signes contraires, est compris entre et )
Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires)
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle et si est compris entre et , l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Remarques
Il faut vérifier 3 conditions pour pouvoir appliquer ce corollaire:
est continue sur
est strictement croissante ou strictement décroissante sur
est compris entre et
Exemple
Soit une fonction définie sur dont le tableau de variations est fourni ci-dessous :
On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation
L'unique flèche oblique montre que la fonction est continue et strictement croissante sur .
est compris entre et .
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .