1. Fonctions polynômes
Définition
Une fonction P est une fonction polynôme si elle est définie sur \mathbb{R} et si on peut l’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}
Remarques
- par abus de langage, on dit parfois polynôme au lieu de fonction polynôme.
- les nombres a_{i} s’appellent les coefficients du polynôme.
Définition
Degré d’un polynôme
Si a_{n}\neq 0 dans l’écriture P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}, on dit que P est une fonction polynôme de degré n.
Cas particuliers
- la fonction nulle n’a pas de degré
- une fonction constante non nulle définie par f\left(x\right)=a avec a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 0
- une fonction affine par f\left(x\right)=ax+b avec a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 1
Propriété
Le produit d’un polynôme de degré n par un polynôme de degré m est un polynôme de degré m+n.
Remarque
Il n’existe pas de formule donnant le degré d’une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que deg(P+Q)\leqslant max(deg(P),deg(Q)).
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
P est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que a\in \mathbb{R} est une racine du polynôme P si et seulement si P\left(a\right)=0.
Exemple
1 est racine du polynôme P\left(x\right)=x^{3}-2x+1 car P\left(1\right)=0
Théorème
Si P est un polynôme de degré n\geqslant 1 et si a est une racine de P alors P\left(x\right) peut s’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=\left(x-a\right)Q\left(x\right)
où Q est un polynôme de degré n-1
2. Fonctions rationnelles
Définition
Une fonction f est une fonction rationnelle (ou fraction rationnelle) si on peut l’écrire sous la forme :
f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}
où P et Q sont deux fonctions polynômes.
La fonction f est définie pour tout x tel que Q\left(x\right)\neq 0.
Exemple
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} par :
f\left(x\right)=2x+1+\frac{3}{x-1}
Après réduction au même dénominateur :
f\left(x\right)=\frac{2x^{2}-x+2}{x-1}
donc f est une fraction rationnelle.
