Inéquation avec quotients

Exemple

Résoudre l’inéquation : \frac{2}{x-2} \leqslant x-1

1. On recherche les valeurs de x pour lesquelles l’inéquation à un sens
   Ici x-1 est toujours défini et \frac{2}{x-2} est défini si x-2\neq 0 c’est à dire si x\neq 2.
   L’inéquation a donc un sens uniquement sur \mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}
2. On « passe tous les termes » dans le membre de gauche
   \frac{2}{x-2} \leqslant x-1 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0
3. On réduit le membre de gauche au même dénominateur
   Le dénominateur commun est x-2 :
   \frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
   \Leftrightarrow \frac{2-\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
   \Leftrightarrow \frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0
4. On factorise le numérateur et le dénominateur
   Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre x en facteur au numérateur :
   \frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} \leqslant 0
   x s’annule pour x=0 et son coefficient directeur 1 est positif
   -x+3 s’annule pour x=3 et son coefficient directeur -1 est négatif
   x-2 s’annule pour x=2 et son coefficient directeur 1 est positif
   On obtient le tableau de signes suivant :

   x		-\infty		0		2		3		+\infty
   x			—	0	+		+		+
   -x+3			+		+		+	0	—
   x-2			—		—	0	+		+
   \frac{x(-x+3)}{x-2}			+	0	—		+	0	—

5. On regarde les signes correspondant à l’inégalité demandée
   Ici, on veut que \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} soit négatif ou nul. D’après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[