Méthode
- on recherche les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation à un sens; c'est à dire qu'on élimine la ou les valeurs de x qui annulent le ou les dénominateurs.
- on "passe tous les termes" dans le membre de gauche (il doit rester "0" dans le membre de droite)
- on réduit le membre de gauche au même dénominateur
- on factorise le numérateur et le dénominateur pour obtenir des facteurs du premier degré
- on trace le tableau de signe (voir la fiche : Dresser un tableau de signes)
- on regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée.
Bien sûr, il arrive parfois que certaines de ces étapes ne soient pas nécessaires (notamment si l'inéquation est déjà de la forme souhaitée)
Exemple
Résoudre l'inéquation : \frac{2}{x-2} \leqslant x-1
- On recherche les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation à un sens
Ici x-1 est toujours défini et \frac{2}{x-2} est défini si x-2\neq 0 c'est à dire si x\neq 2.
L'inéquation a donc un sens uniquement sur \mathbb{R}\backslash\left\{2\right\} - On "passe tous les termes" dans le membre de gauche
\frac{2}{x-2} \leqslant x-1 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0 - On réduit le membre de gauche au même dénominateur
Le dénominateur commun est x-2 :
\frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
\Leftrightarrow \frac{2-\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0 - On factorise le numérateur et le dénominateur
Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre x en facteur au numérateur :
\frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} \leqslant 0
x s'annule pour x=0 et son coefficient directeur 1 est positif
-x+3 s'annule pour x=3 et son coefficient directeur -1 est négatif
x-2 s'annule pour x=2 et son coefficient directeur 1 est positif
On obtient le tableau de signes suivant :x -\infty 0 2 3 +\infty x - 0 + + + -x+3 + + + 0 - x-2 - - 0 + + \frac{x(-x+3)}{x-2} + 0 - + 0 - - On regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée
Ici, on veut que \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} soit négatif ou nul. D'après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[