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Seconde

Méthode

Inéquation avec quotients

Méthode

  • on recherche les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation à un sens; c'est à dire qu'on élimine la ou les valeurs de x qui annulent le ou les dénominateurs.
  • on "passe tous les termes" dans le membre de gauche (il doit rester "0" dans le membre de droite)
  • on réduit le membre de gauche au même dénominateur
  • on factorise le numérateur et le dénominateur pour obtenir des facteurs du premier degré
  • on trace le tableau de signe (voir la fiche : Dresser un tableau de signes)
  • on regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée.

Bien sûr, il arrive parfois que certaines de ces étapes ne soient pas nécessaires (notamment si l'inéquation est déjà de la forme souhaitée)

Exemple

Résoudre l'inéquation : \frac{2}{x-2} \leqslant x-1

  1. On recherche les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation à un sens
    Ici x-1 est toujours défini et \frac{2}{x-2} est défini si x-2\neq 0 c'est à dire si x\neq 2.
    L'inéquation a donc un sens uniquement sur \mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}
  2. On "passe tous les termes" dans le membre de gauche
    \frac{2}{x-2} \leqslant x-1 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0
  3. On réduit le membre de gauche au même dénominateur
    Le dénominateur commun est x-2 :
    \frac{2}{x-2}-\left(x-1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x-2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
    \Leftrightarrow \frac{2-\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2} \leqslant 0
    \Leftrightarrow \frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0
  4. On factorise le numérateur et le dénominateur
    Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre x en facteur au numérateur :
    \frac{-x^{2}+3x}{x-2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} \leqslant 0
    x s'annule pour x=0 et son coefficient directeur 1 est positif
    -x+3 s'annule pour x=3 et son coefficient directeur -1 est négatif
    x-2 s'annule pour x=2 et son coefficient directeur 1 est positif
    On obtient le tableau de signes suivant :

    x-\infty023+\infty
    x -0+++ 
    -x+3 +++0- 
    x-2 --0++ 
    \frac{x(-x+3)}{x-2} +0-+0- 
  5. On regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée
    Ici, on veut que \frac{x\left(-x+3\right)}{x-2} soit négatif ou nul. D'après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[
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Dans ce chapitre...

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Méthodes

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