Calcul littéral : Simplification de fractions
Pour chacune des expressions suivantes :
préciser son ensemble de définition ;
simplifier la fraction ;
donner l'ensemble de définition de la fraction simplifiée.
A=(x−1)(x+2)x2−4
B=x2+2x+1(x+1)(x−5)+(x+1)2
C=(x−1)(2x+1)x4−1
Pour la question b. de ces exercices, la méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur et à simplifier par le(s) facteur(s) commun(s) au numérateur et au dénominateur.
A=(x−1)(x+2)x2−4
La fraction A est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.
Or :
(x−1)(x+2)=0⇔x−1=0 ou x+2=0
(x−1)(x+2)=0⇔x=1 ou x=−2.
Donc l'ensemble de définition de A est DA=R\{−2 ; 1}.
On factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b) :
x2−4=(x−2)(x+2)
Par conséquent pour tout réel x∈DA :
A=(x−1)(x+2)(x−2)(x+2)=x−1x−2
La fraction simplifiée est définie si et seulement si x≠1 donc sur R\{ 1}.
B=x2+2x+1(x+1)(x−5)+(x+1)2
Le dénominateur se factorise grâce à l'identité remarquable a2+2ab+b2=(a+b)2 :
x2+2x+1=(x+1)2
Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si x≠−1 donc DB=R\{−1}.
On peut mettre (x+1) en facteur au numérateur :
(x+1)(x−5)+(x+1)2=(x+1)[(x−5)+(x+1)]
(x+1)(x−5)+(x+1)2=(x+1)(2x−4).
Par conséquent, pour tout réel x∈DB :
B=(x+1)2(x+1)(x−5)+(x+1)2
B=(x+1)2(x+1)(2x−4)
B=x+12x−4.
L'ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore R\{−1}.
C=(x−1)(2x+1)x4−1
Le dénominateur est non nul si et seulement si x≠1 et x≠−21.. Donc DC=R\{−21 ; 1}.
x4−1 se factorise de la manière suivante :
x4−1=(x2)2−12=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1).
Remarque : x2+1 ne peut pas être factorisé dans R.
On en déduit que :
C=(x−1)(2x+1)(x−1)(x+1)(x2+1)=2x+1(x+1)(x2+1)
La fraction simplifiée est définie sur l'ensemble R\{−21}.